-
Определение параметров функциональной зависимости
методом
наименьших квадратов
При совместном
исследовании двух случайных величин
по имеющейся выборке (х1,
у2),
(х2,
у2),…,(xk,
yk)
возникает задача определения зависимости
между ними. Если вид функции y
= f
(x,
a,
b,...)
задан, то требуется найти значения
коэффициентов a,
b,...,
при которых yi
наименее отличаются от f
(xi).
В методе наименьших квадратов коэффициенты
должны быть такими, что
принимает минимальное значение.
а) Линейная
зависимость y
= ax
+ b.
Если
,
то из условия
получаем:
б) Квадратичная
зависимость y
= (ax
+ b)2.
Отсюда
и система для определения a,
b
может быть получена по аналогии с
предыдущим случаем с помощью замены yi
на
:
в) Показательная
зависимостьЛогарифмируя,
получаем: lny=ax
+ b,
и система уравнений для a,
b
имеет вид:
г) Зависимость
вида
Тогда y2
= ax
+ b,
и условия для а
и b
можно задать так:
д) Логарифмическая
зависимость y
= ln(ax
+ b),
то есть ey
= ax
+ b,
и
Пример 5.
Найти параметры зависимости между х
и у
для выборки
xi
|
1,4
|
1,7
|
2,6
|
3,1
|
4,5
|
5,3
|
yi
|
2,5
|
4,7
|
18,3
|
29,8
|
74,2
|
110,4
|
для случаев: 1)
линейной зависимости y
= ax
+ b;
2)
квадратичной зависимости y
= (ax
+ b)2;
3)
показательной зависимости y
= eax
+ b.
Определить, какая
из функций является лучшим приближением
зависимости между х
и у.
Решение.
По виду выборки
достаточно очевидно, что связь между х
и у
скорее всего не является линейной – у
растет не пропорционально х.
Проверим это предположение, найдя
коэффициенты а
и b
для каждой из функций. Для этого вычислим
предварительно
=
3,1;
=
40,0;
Теперь можно решать
линейные системы для а
и b:
1)
то есть линейная зависи-мость имеет
вид: у
= 27,34х
– 44,74.
2)
квадратичная функция:
у
= (2,29х
– 1,68)2.
3)
показательная функция:
у = е0,94х
+ 0,04.
Вычислим значения
:
yi
|
2,5
|
4,7
|
18,3
|
29,8
|
74,2
|
110,4
|
|
(yi)лин
|
-6,46
|
1,74
|
26,34
|
40,0
|
78,29
|
100,13
|
379,93
|
(yi)кв
|
2,33
|
4,9
|
18,27
|
29,37
|
74,4
|
109,35
|
1,397
|
(yi)показ
|
3,85
|
5,09
|
11,67
|
18,8
|
69,5
|
146,66
|
1503,81
|
Итак, наилучшим
приближением является квадратичная
функция.
II. Элементы теории корреляции