Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

. (8.14)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых, (8.15)

- условие перпендикулярности прямых. (8.16)

Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью, определяемой общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

(8.17)

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

Al + Bm + Cn = 0, (8.18)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n. (8.19)

Лекция 9.

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору хR по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор АхR.

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

А(х + у)=Ах + Ау, А(λх) = λ Ах. (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Ех = х.

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е₁, е₂, е₃, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае₁, Ае₂, Ае₃, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

Ае₁ = а₁₁ е₁ + а₂₁ е₂ +а₃₁ е₃,

Ае₂ = а₁₂ е₁ + а₂₂ е₂ + а₃₂ е₃, (9.2)

Ае₃ = а₁₃е₁ + а₂₃ е₂ + а₃₃ е₃ .

Матрица называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, е_{3 .} Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.

Для произвольного вектора х =х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах, который можно разложить по векторам того же базиса: Ах =х`<sub>1</sub>е<sub>1</sub> + х`₂е₂ + х`<sub>3</sub>е<sub>3</sub>, где координаты x`_i можно найти по формулам:

х`₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x`₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃, (9.3)

x`₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.

Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису.

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е₁, е₂, е₃ и е₁, е₂, е_3. Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {e_k} к базису {e_k}. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С^-1АС (9.4)

Действительно, , тогда А. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе {e_k}, т.е. , и в базисе {e_k}: соответственно - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА=АС. Умножая обе части этого равенства слева на С^-1, получим С^-1СА = = С^-1АС, что доказывает справедливость формулы (9.4).