1 Вопрос

Матрица. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, перемножение, транспонирование. Формулы для элементов матриц-результатов. Свойства этих операций

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Вид Матриц: 1) Квадратная. 2) Диагональная. 3)Нулевая. 4) Единичная.

Действие на матрицами: 1) Сложение. 2)Вычитание. 3)Умножение. 4)Транспонирование. 5)Сопряжение.

Свойства операций: 1.1) Коммутативность. 1.2) Ассоциативность. 2.1) Коммутативность. 2.2) Ассоциативность. 3.1) Распределение. 3.2) A*(B*C)=(A*B)*C

1. A+B=B+A ;

2. (A+B)+C=A+(B+C) ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. A+0=A ;

8. A+(-A)=0.

Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).

2 Вопрос

1. Определители матриц. Рекуррентное определение. Вычисление определителей порядков 2 и 3 (док-во). Минор и алгебраическое дополнение элемента. Понижение порядка определителя.

В матрице порядка n алгебраическим дополнением элемента, стоящего на пересечении k-го столбца и l-й строки, называется определитель порядка (n - 1), получаемый из данной матрицы вычеркиванием в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, причем к этому определителю присоединяется множитель (-1)^k+l, где (k + l) - сумма номеров вычеркнутой строки и столбца. Алгебраическое дополнение элемента, рассматриваемое без множителя (-1)^k+l, называется минором этого элемента.

 Определитель равен сумме произведений каждого элемента некоторой строки (или столбца) на его алгебраическое дополнение.

Рекуррентное определение: Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число где  -- определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером

3 Вопрос Способ упрощения определителя на основании свойств Метод понижения порядка определителя основан на последовательном приведении всех столбцов к нулю кроме верхнего члена столбца. ( приводить к нулю методом Гаусса

4 вопрос Обратная матрица. Определение. Теоремы о единственности, определителе, существовании и вычислении обратной матрицы (с доказательствами). Присоединённая матрица

Присоединённая матрица – Транспонированная матрица алгебраических дополнений

Вопрос 5 Свойства обратной матрицы:

, где В- матрица алгебраических дополнений. Находится через миноры элементов исходной матрицы умноженные на , где i и j строка и столбец элемента.

Решение простейших линейных матричных уравнений A*X=С=>

Вопрос 6 Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная форма записи. Правило Крамера (доказательство). Условия его применения

Условие применения правила Крамера- неравенство нулю общего определителя.

Вопрос 7. ЛЗ и ЛНЗ строки и столбцы.

ЛЗ(линейно-зависимые) – можно составить линейную комбинацию строк\столбцов.

ЛНЗ(линейно-независимые) – нельзя составить линейную комбинацию строк\столбцов.

Общее условие равенства нулю определителя.- Если одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк, то определитель такой матрицы равен нулю.

Вопрос 8. Миноры матрицы, определение, свойство. Базисный минор матрицы (определение). Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы (определение). Теорема о ранге матрицы.

Минор матрицы – определитель матрицы N-1xN-1. На тех строках\столбцах , которые вычеркнули называются основные миноры. А те которые не на вычеркнутых строках\столбцах – называются дополнительными минорами. Базисный минор – минор высшего порядка не равный 0.

Теорема о базисном миноре: Строки\столбцы ЛНЗ. Остальные строки\столбцы можно выразить через столбцы\строки базисного минора.

Теорема о ранге:Ранг матрицы равен порядку базисного минора. И равен максимальному числу ЛНЗ строк\столбцов.

Вопрос 9. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований. Нахождение одного из базисных миноров. Условие совместности системы (теорема Кронекера-Капелли)

Ранг можно посчитать через Гаусса. Вычеркиваем кол-во строк\столбцов равных рангу и находим не равный 0 минор!.

Теорема Кронекера-Капелли :Если ранг обычной, равен рангу расширенной матрицы, то система совместна!.

Вопрос 10. Общий метод решения совместной системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Условия единственности и множественности решений системы.

Единственное решение , когда кол-во переменных равно кол-ву уравнений. И детерминант общей матрицы не равен нулю . Вид преобразованной матрицы- треугольный

Множество решений когда вид преобразованной матрицы- трапецевидный

Признак несовместности системы : наличие строки вида 00000| а

Вопрос 11. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. Его матричная форма. Прямой и обратный ходы метода Гаусса. Выбор базисных переменных. Получение общего решения.

Из любой строки\столбца можно вычесть\прибавить\умножить\разделить на другую строку\столбец. А так же сократить\умножить на число любую строку\столбец. Можно вычеркнуть одинаковые. Базисные переменные можем сами выбрать, как и свободные. Выражаем базисные , через свободные находим общее решение, и ФСР.

Вопрос 12. Однородная система линейных уравнений, её свойства. Теорема о существовании линейно независимых решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

Однородной системой называется система уравнений, где каждое уравнение равно 0! Есть точно тривиальное решение(нулевое решение) . Если определитель равен 0, то есть хоть одно не тривиальное решение. Фундаментальная система решений – Если у нас есть 2 и более свободных переменных, то поочередно меняем значение переменных 1 и 0 и получаем ФСР. Общее решение – выражение базисных переменных, через свободные.

Вопрос 13. Связь решений соответствующих неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы

Разность решений не однородной системы , дает решение однородной системы. И крутим вертим шаверму.

Вопрос 14. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Определение. Арифметический вектор. Характеристическое уравнение матрицы (док-во). Нахождение собственных векторов как ФСР

Собственный вектор аналог ФСР . находим его через собственные значения матрицы.

решение данной системы уравнений дает вектор соответствующий данной лямде. Для каждой лямбды ищем свой собственный вектор..

Собственный вектор – умножение его на халфу = значению А*Х. Собственный вектор удовлетворяет условию:

X на лямбду= АХ

Вопрос 15. Геометрический вектор: определение, модуль. Равенство, коллинеарность и компланарность векторов. Линейные операции над векторами: определение, свойства.

Направленный отрезок на плоскости. Модуль: . Коллинеарность когда 2 вектора параллельны. Компланарность 3 и более вектора через которые можно провести плоскость.

Линейные операции сумма, умножение на число ( и обратные) Свойства а+в= в+а; a(b+c)=ab+ac;

a+0=a;a(bc)=(ab)c.

Вопрос 16. Системы координат на плоскости и в пространстве (аффинная, декартова). Базисы. Координаты вектора (определение). Линейные операции над векторами в координатной форме.

Декартова система координат - это такая система, где векторы направленности равны по 1. Базис – любые 3 вектора исходящие из одной точки. Координаты вектора линейная комбинация базисных векторов и коэффициенты при ни и есть координаты. Операции: сложение, умножение на число и обратные им действия.При сложении складываем соответствующие координатя, при умножении- умножаем на число.

Вопрос 17. Координаты точки (определение). Выражение координат вектора через координаты его начала и конца (доказательство). Деление отрезка в заданном отношении (доказательство).

Координаты точки это координаты радиус вектора построенного на этой точке и начале координат

Формула координат вектора: из конца вычитаем начало вектора. Координаты точки делящей отрезок на части относящиеся как халфа тоже самое для y,z.

Вопрос 18. Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение. Направляющие косинусы вектора.

Скалярное произведение – представляем как умножение матриц составленных через координаты векторов.. Свойства: a*b=b*a ; k*(a*b) = (k*a)*b…

Вопрос 19. Векторное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), свойства, применение.

Векторное произведение векторов – вектор с координатами равными коэффициентам при i,j,k при подсчете определителя матрицы этих векторов. Свойсвта: модуль векторного произведения- площадь параллелограмма образованного через них. Или

Вопрос 20. Смешанное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение, свойства.

Смешанное произведение векторов – ([a,b],c) или определитель матрицы из этих векторов. Свойство : Объем параллепипеда построенного на этих векторах.

Вопрос 21. Прямая линия на плоскости. Уравнения: с угловым коэффициентом, общее, параметрические, каноническое. Расстояние от точки (док-во). Угол между прямыми, точка их пересечения

Уравнение прямой: Ах+Ву+С = 0. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле: . Угол между прямыми: делаем из прямых векторы направляющие и формулой:

Вопрос 22. Плоскость в пространстве. Уравнения: общее, компланарное. Расстояние от точки (док-во). Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей.

Уравнение плоскости аналогично прямой , но + еще Z координата. Расстояние так же. Угол так же, но вместо направляющего вектора берем нормаль к плоскости.

Если координаты при переменных в уравнениях пропорциональны то плоскости параллельны., если нет- то пересекаются. Еще можно по нормалям если они параллельны, то плоскости параллельны.

Вопрос 23,24. Две прямые в пространстве. Анализ трёх типов их взаимного расположения. Расстояния: между точкой и прямой, между параллельными прямыми, между непараллельными прямыми (док-во).

от точки до прямой\плоскости(на плоскости\ пространстве).

расстояние между прямыми\плоскостями

от точки до прямой до прямой в проствранстве. а – направляющий вектор к прямой.

Если координаты векторов пропорциональны , то они параллельны. Если не пропорциальны, решаем систему уравнений.

Прямые в пространстве параллельны если параллельны их направляющие. Лежат в одной плосткости если смешанное произведение напрвляющих и вектора из точек принадлежащих этим прямым- =0. А если смешанное произведение не равно нулю то не лежат в одной плоскости.