Воп.12. Средняя арифметическая и ее свойства.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметиче­ская, которая в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая применяется, когда значение вариантов встречается по одному числу раз.

Средняя арифметическая взвешенная применяется, когда отдельное значение призна­ка повторяется неодинаковое количество раз, т.е. она используется в расчетах средней по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными и ин­тервальными.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необхо­димых вычислений переходят о интервалов к их серединам.

Воп.13. Структурные средние.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели - структурные средние. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой (Мо) называется чаще всего встречающийся вариант.

В дискретном ряду мода- это варианта с наибольшей частотой. В интервальном ряду модой считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частотность).

Мода для интервального ряда:

 — значение моды

 — нижняя граница модального интервала

 — величина интервала

 — частота модального интервала

 — частота интервала, предшествующего модальному

 — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для ранжированного ряда (т.е. построенного в порядке возрастания или убывания ин­дивидуальных величин) с нечетным числом, членов медианой является варианта, располо­женная в центре ряда. (Например, данные о стаже работы семи продавцов: 1,2,2,3,5,7,10 - медианой является 4-ая варианта — З г.)

Для ранжированного ряда с четным числом членов медианой будет средняя арифме­тическая из двух смежных вариант. Например: в бригаде продавцов из 6 человек распределе­ние по стажу работы следующее: 1,3,4,5,7,9 - медиана = (4+5)/2 = 4,5г.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

• — искомая медиана

• — нижняя граница интервала, который содержит медиану

• — величина интервала

• — сумма частот или число членов ряда

• - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

• — частота медианного интервала

Воп.14. Основные показатели вариации.

Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.

• размах вариации

• среднее линейное отклонение

• дисперсию

• среднее квадратическое отклонение

• Коэффициент вариации (относительное отклонение)

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака

Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение — это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

Среднее линейное отклонение простое:

Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технологических особенностей производства).

Среднее квадратическое отклонение

Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение ( ) равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия простая:

Дисперсия взвешенная:

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической. (корень из дисперсии)

Коэффициент вариации (V). Изложенные выше характеристики совокупности (средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение) имеют один недостаток: они дают показатель изменчивости признака в именованных величинах, а не в относительных. Поэтому сопоставление (или сравнение) разноименных признаков по этим параметрам невозможно.

В этом случае удобно пользоваться коэффициентом изменчивости признака, который выражается в относительных величинах, а именно в процентах, и вычисляется по формуле:

, или V=d с черточкой / x с черточкой