1. Основные сведения о матрице

опр. Матрицей размера mxn наз-ся прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы обозначаются заглавными лат. буквами, а их элементы – строчными с двойным индексом: a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении кот. расположен элемент.

Виды матриц:

опр. Матрица, у которой m=n, наз-ся квадратной матрицей n-ного порядка.

опр. Матрица, состоящая из 1 строки наз-ся матрицей-строкой (вектором-строкой). Матрица, состоящая из 1 столбца наз-ся матрицей-столбцом (вектором-столбцом).

опр. Матрица наз-ся диагональной, если все внедиагональные эл-ты равны 0.

опр. Единичной матрицей n-ного порядка (Е) наз-ся диагональная матрица, у кот. все диагональные эл-ты = 1.

опр. Нулевой матрицей наз-ся матрица любого размера, если все ее эл-ты = 0

опр. Две матрицы A и B наз-ся равными, если они одинакового размера mxn и совпадают по элементам.

2. Операции над матрицами

1. Сложение матриц

опр. Суммой матриц A и B одинакового размера mxn наз-ся матрица C размера mxn, эл-ты кот. c_ij получаются по элементарным сложениям соответствующих элементов матриц А и В, т. е. с_ij=а_ij+b_ij, i= ; j= .

2. Умножение матрицы на число

опр. Произведением матрицы A размера mxn на число k наз-ся матрица С размера mxn, эл-ты которой получаются поэлементным умножением соответствующих элементов на число k.

зам. Общий множитель всех эл-тов матрицы можно выносить за знак матрицы.

3. Вычитание матриц

опр. Разность матриц А и В одинакового размера определяется через предыдущие операции как А-В=А+(-1)В, А-В=С, с_ij=а_ij-b_ij.

зам. А+О=А; А*0=О; А*1=А

4. Умножение матриц

опр. Произведение матрицы A размера mxk на матрицу B размера kxn наз-ся матрица C размера mxn, каждый эл-т кот. c_ij получается в виде произведения i-ой строки матрицы A на j-й столбец матрицы B (произведение берется как скалярное произведение i-ой вектор-строки матрицы A на j-й вектор-столбец матрицы B), т.е. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_kj.

зам. Произведение матриц сущ. тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй.

Свойства операций:

AB≠BA.

AE=EA=A

АВ=0, из этого не следует, что А=0, В=0

5. Возведение в степень

опр. Целой положительной степенью A^k (k>1) квадратной матрицы А наз-ся произведение матрицы A саму на себя k раз.

зам. а)A⁰=E, А¹=А б)A^k=0, не следует, что А=0

6. Транспонирование матрицы

опр. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А^Т (или А^’), в кот. строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, при этом матрица А^Т называется транспонированной относительно матрицы А, а ее эл-ты вычисляются по формуле: a^T_ij=a_ji,  i= ; j=

Св-ва:

(A^T)^T=A

(kA)^T=kA^T

(A+B)^T=A^T+B^T

(AB)=B^TA^T

опр. Симметрическая матрица – квадратная матрица, у кот. эл-ты, симметричные относительно данной диагонали, равны, т. е. A^T=A

3. Определители квадратных матриц

1) Определителем первого порядка ∆₁ для матрицы А размера 1х1 А=(а), называется число А.

2) Определителем второго порядка ∆₂ для квадратной матрицы 2х2 А= , называется число аd-bc.

А^*= ∆₂=ac-b²

3) Определителем третьего порядка ∆₃ для квадратной матрицы А= называется числовая хар-ка: aek+bfg+dik-(ceg+dbk+aif).

4)Определителем n-ого порядка ∆_n квадратной матрицы A наз-ся число, равное алгебраической сумме n!=1·2·3·…·n слагаемых, каждое из кот. является произведением n эл-тов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

зам. С ростом числа n увеличивается число слагаемых.

зам. Один из способов вычисления определителя n-ого порядка – это способ приведения определителя к верхнему треугольному виду путем использования св-в определителя.

Св-ва определителей:

1)Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. е. ∆(А)= ∆(А^Т)

2)Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению определителя на (-1).

3)Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

4)Умножение всех эл-тов одной строки (столбца) определителя на любое число c равносильно умножению определителя на это число c. Поэтому общий множитель всех эл-тов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя.

5)Если все эл-ты строки (столбца) определителя равны 0, то он тоже равен 0.

6)Если эл-ты двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен 0.

7)Если к эл-там некоторой строки (столбца) определителя прибавить соотв. эл-ты др. строки (столбца), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится.

8)Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. |А*В|=|А|*|В|

9)Если каждый эл-т k-го столбца (строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то исходный определитель может быть представлен в виде суммы трех определителей, из кот. один в k-том столбце (строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой вторые; а эл-ты, стоящие на остальных местах одинаковые из всех трех определителей.