Свойства аналитической функции:

1.Если функция F(z) является аналитической в области Д, то она непрерывна в этой области.

2.Если f1(z) и f2(z) являются аналитическими в области Д, то их сумма является также аналитической функцией в области Д, а функция ϕ(z)= является аналитической везде, где f2(z)≠0.

3. Если w=f(z) является аналитической функцией в области Д, причём в области её значений на плоскости w определяется аналитической функцией s=ϕ(w), то функция F(z)=ϕ[f(z)] является аналитической функцией комплексной переменной.

4.Если w=f(z) является аналитической функцией в области Д, причём |f’(z)|≠0 в окрестности некоторой точки ϵД, то в окрестности точки область значений f(z) определяет обратная функция z=ϕ(w). Является аналитической функцией комплексной переменной w. При этом имеет место соотношение: f’(

Рассмотрим геометрический смысл производной функции W. W=f(z)

Пусть ɣ₁ ; ɣ₂ , если ϕ – угол между ɣ₁и ɣ₂ в точке , то ϕ – также угол между и в точке W₀. Сохраняя не только абсолютную величину угла, но и его направление.

Определение: Отображаемой окрестностью в точке на окрестность точки W₀ осуществляется аналитической функцией W=f(z) и обладает в точке свойством сохранения углов и постоянством растяжений называется комфортным отображением.

Так как определение производной комплексной функции аналогично определению производной функции действительной переменной то сохраняя формулы дифференцирования получим

(az+b)’=a

(z²)=2z (1.8)

( )= -

Так же производную можно вычислить по следующим формулам:

f’(z)=u_x(x,y)+iv_x(x,y)=v_y(x,y)+iv_x(x,y)=u_x(x,y)-iu_y(x,y)=v_y(x,y)-iu_y(x,y) (1.9)

Тема 2: Интегрируемые теоремы. Интегральная форма

П2.1 Интеграл функций комплексной переменной

Пусть на кривой g определяется комплекснозначная функция f(z). Разобьём её на дуги ɣ₁, ɣ₂,…,ɣ_n точками z₁, z₂, …, z_n и т. д. временными по направлению движения кривой ɣ – начало кривой, z_n– ее конец. На каждой дуге ɣ_k выберем точку ξ_k из ɣ_k и составим интегральную сумму:

(2.1)

l=max

1≤k≤n, где -длинна дуги , если существует предел при , выражение (2.1), то он называется интегралом от функции f(z) по кривой ɣ т.е. (2.2)

Пусть z=x+iy, f(z)=u(x;y)+iv(x;y), тогда интеграл (2.2) можно записать в виде: (2.3)

Значит существует интеграл равносильно существованию 2-х криволинейный интеграл от действительных функций и ,если кривая ɣ задаётся уравнением z=δ(t)=ξ(t)+iη(t) tϵ[α,β], то в формуле (2.3)