- •Числовые и функциональные ряды Числовые ряды
- •2. Определить сходимость числового ряда .
- •3. Определить сходимость числового ряда
- •4. Определить сходимость числового ряда .
- •5. Определить сходимость числового ряда .
- •9. Определить сходимость числового ряда .
- •Функциональные ряды
- •1. Определить интервал сходимости ряда
Числовые и функциональные ряды Числовые ряды
1. Определить сходимость числового ряда
.
Решение. Данный числовой ряд – сумма всех членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем Вычисляя сумму первых чисел, получаем:
или .
Переходя к вычислению предела, заметим, что в зависимости от значений и частичная сумма ряда принимает различные значения.
1). Если , то при . Значит, в случае ряд (98) сходится и его сумма .
2). Если , то и тогда при , т.е. не существует. Таким образом, в случае ряд (98) расходится.
3) Если , то ряд (98) имеет вид: . В этом случае , т.е. ряд расходится.
Если то . В этом случае:
Следовательно, частичная сумма предела не имеет.
Таким образом, сумма членов геометрической прогрессии (с первым членом отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы. ►
2. Определить сходимость числового ряда .
Решение. Воспользуемся необходимым признаком сходимости ряда. Для данного числового ряда записываем формулу общего члена и вычисляем предел
.
Так как предел не равен нулю, то исходный ряд расходится. ►
Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, то есть из того, что n-й член ряда стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится – ряд может и расходиться.
3. Определить сходимость числового ряда
. (104)
Решение. Для данного числового ряда записываем формулу общего члена и вычисляем предел . Необходимый признак выполнен. Докажем, однако, что исходный ряд расходится. Распишем его подробнее:
(105)
и составим вспомогательный ряд:
. (106)
Ряд (106) строится следующим образом: его первый член равен 1, второй – , третий и четвёртый равны , члены с пятого по восьмой равны , члены с девятого по 16-й равны , с 17-го по 32-й – , и т.д.
Обозначим через Sn(1) сумму первых n членов гармонического ряда (105), а через Sn(2) сумму первых n членов ряда (106). Так как каждый член ряда (105) больше соответствующего члена ряда (106), то для (n 2) выполнено
. (107)
Подсчитаем частичные суммы ряда (106) для значений n равных степеням двойки: 21, 22, 23, 24, 25 и т.д. Имеем:
,
,
,
,
Заметим, что , , и т.д. Следовательно , т.е. частичные суммы Sn(2) при неограниченно увеличиваются или . Но тогда из соотношения (107) следует, что . Таким образом, исходный числовой ряд расходится. Числовой ряд (104) часто называют гармоническим. ►
Пусть даны два ряда с положительными членами
, (108)
. (109)
Для них справедливы следующие утверждения.
Теорема (Первый признак сравнения числовых рядов). Пусть члены ряда (108) не больше соответствующих членов ряда (109), т.е. при n=1, 2, ...
. (110)
Тогда, если ряд (109) сходится, то сходится и ряд (108).