7) Теор про інтегрування оригіналу.

Якщо то інтеграл також є оригіналом, і його зображення

Дов. ; ; ;

8)Розв’язання ЛНДР зі сталими коефіцієнтами за допомогою перетворень Лапласа. 𝑦``+ ; ) ; (2);Будемо шукати ;Припустимо що існують зображення розв`язку рівняння (1) і його похідних.Помножимо всі члени рівняння (1) і проінтегруємо по в межах від 0 до : ;Ці інтеграли є зображенням відповідно та скористаємося теоремою про диференціювання оригінала. ;Рівняння (4) називається операторним рівнянням або допоміжним рівнянням для ЛНДР (1). ;Функц. яка відповідає (5) згідно теореми єдності буде розв’язком рівняння (1) з умовами (2). ми будемо користуватись таблицею основних перетворень Лапласа.Якщо правильний раціональний дріб то його треба розкласти на елементарні дроби і потім знайти їх оригінали.

9)Згортка 2х функцій – озн та властивості. Теор Бореля про зображення згортки (без дов). Згортка двох функцій –озн та власт. Згорткою функцій називається визначений інтеграл. ;Зі змінною верхньою межею. Має такі властивості:а) комутативність ; ; ; ; б) згортка 2-ох функцій та , яка є оригіналами також оригіналами.Теорема Борея про зображення згортки добуток оригіналів = добутку зображеннь.

10)Згортка 2х функцій – озн та властивості. Інтеграл Дюамеля. Згорткою функцій називається визначений інтеграл. ;Зі змінною верхньою межею. Має такі властивості:а) комутативність ; ; ; ; б) згортка 2-ох функцій та , яка є оригіналами також оригіналами. Інтеграл ДюамеляТ.Нехай відповідає тоді має місце формула Діомеля: ;Дов. За теоремою Борея маємо ;Скористаємося тепер теоремою про диференціювання оригінала. [Застосовуємо теорему Барроу про похідну визначенного інтеграла зі змінною верхньою межею.]= .

11)Теор про знаходження оригіналу за відомим зображенням (без дов). Т. Для зображення є дробово-раціональна функція многочлени степенів n I m відповідно, n>m, - корені многочлена з кратностями ; ;в частинному випадку многочлени прості оригінал;

12)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення, теор єдності, зображ функцій , . Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні. : ; : ; : ;

1)Теор додавання імовірностей та її наслідки. Теорема додавання ймовірностей – ймовірність появи декількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. ;Якщо С=А+В , де А і В несумісні то p(C)=p(A)+p(B).Доведемо теорему для випадку двох подій. Нехай n загальна кількість випадків. Число число тих випадків що сприяють появі А, число таких випробувань що сприяє появі В так як А+В несумісні події ;За означенням маємо Наслідок 1: Сума подій що утворюють повну групу = 1;Наслідок2:Сума ймовірностей протилежних подій =1;

2)Теор множення імовірностей та її наслідки. Озн. Подія А назив. Залежною від події В якщо ймовірність появи А залежить від того чи траплялась подія В.Ймовірність добутку декількох подій = добутку ймовірностей з них на умовній подібності деяких з них. ; ;Дов.Розглянемо випадок 2-ох подій нехай n загальна кількість рівно можливих результатів вибору. - число що сприяють події ; - число результатів випробувань в яких не стала подія , тобто число результатів що сприяє події .Тоді ймовірність сумісної появи .Аналогічно можна довести 2-гу частину теорем. Наслідок. якщо А І В незалежні

3)Теор про повну імовірність. Теорема про повну ймовірність є наслідком з теорем про суму і про добуток.Нехай треба знайти ймовірність деякої події А яка може трапитися разом з однією з подій що утворює повну групу несумісних подій – гіпотеза.Т.Ймовірність події А обчислюється як сума добутку ймовірності кожної гіпотези. На ймовірності кожної гіпотези на виконання цієї гіпотези: це і є формула повної ймовірності. Дов.Подія А може з’явитися тільки у комбінації з якоюсь з гіпотез . ;Ці комбінації не сумісні так само як і гіпотези ..Застосовуємо теорему додавання: ;Тепер застосовуємо теорему множення ймовірностей:

4)Формула Беєса. Є наслідком теореми множення і формулою повної ймовірності.Нехай ймовірність гіпотез до спроби відомі і = Відбулися З’явилась подія А як треба змінити ймовірність гіпотез у зв’язку з появою цієї події? треба знайти умовну ймовірність для кожної гіпотези. ; ;

5)Повторення випробувань, формула Бернуллі, наближена формула Пуасона. Якщо при випробуванні ймовірність появи події А у кожній спробі не залежить від результату інших спроб, то такі випробування називаються незалежними від А.Для обчислення ймовірності появи цієї події «m» разів при «n» незалежних випробуваннях користуються формулою Бернуллі. «Р» ймовірність появи А в одному випадку. ; ;

Якщо ‘n’ - велика, а ‘p’ – мала величина,(р<0.1, npq≤9), то застосовують наближену формулу Пуассона: ; .

6)Дискретні випадкові величини (ДВВ) – озн, закон їх розподілу, числові характеристики. Озн1.двв називають величину Х – можливі значення якої є окремі ізольовані числа які ця величина приймає з деякою ймовірністю. Кількість може бути скінченною або нескінченною.Озн2.Законом розподілу (ряду розподілу) називається перелік значень на відповідний їй ймовірності ,або аналітично Графічним зображенням закону розподілу Х називається многокутником розподілу

– для якої ймовірність - найбільша називається модою.Першою характеристикою ДВВ є математичне сподівання: ; очевидно що цей ряд повинен збігатися. З’ясуємо фізичний смисл математичного сподівання.Нехай у цих точках зосереджені маси тоді враховуючи маємо ;Фізичний смисл математичного сподівання полягає у тому що воно є центром мас системи матеріальних точок при прямує до математичного сподівання.1)

7)Неперервна випадкова величина (НВВ) – озн, інтегральна функція розподілу імовірностей, щільність імовірності. Інтегральна функція розподілу . Часто зустрічаються випадкові величини можливих значень яких заповнюють деякі інтервали такі додаткові величини назив неперервними.Закон розподілу ймовірностей величини «Х» повинен дозволяти обчислення ймовірності. - попадання її значень у будьякий інтервал . Для кількісної характеристики НВВ вводиться поняття інтегральної функції розподілу. Озн: інтегр-ою фун-єю розподілу називається функція F(x), що визначає для кожного значення НВВ Х імовірність того, що вона прийме значення <x. F(x)=p(X<x). F(x) має такі властивості: 1) ;2)якщо , то , функція зростає.наслідок2.1) ;наслідок2.2) ;3) , тоді F(x)=0 при і F(x)=1 при . Імовірність того, що Х прийме значення =0, так як це неможлива подія. У випадку маємо вірогідну подію. Наслідок3)мають місце такі співвідношення: ; F(x) монотонно зростає.Рисуночек(pictmonotonozr)Щільність імовірності: озн – функція f(x)=F’(x) називається щільністю імовірності: .припустимо, що F(x) неперервна і диференційована. За допомогою щільності імовірності можна знайти імовірність попадання випадкової величини Х у інтервал (ab), а саме: ; . Щільність імовірності має такі властивості: 1)f(x) 0; 2) ; якщо ж X , то .

8)Числові характеристики НВВ – M[X], D[X], . Якщо , то ;Цей невласний інтеграл збігається абсолютно, у випадку коли - ; - мода – наз.те значення х; при якому максимальне. - медіана – наз. Те значення для якого виконується рівність. .Медіана це точка в якій ділить навпіл площу обмеженою кривою розподілу.Виведемо формулу для обчислення дисперсії : D ;при маємо ;Середня квадратичне відхилення

9)Біноміальний закон розподілу ДВВ. Закон розподілу випадкової величини Х числа появи події А у серії з «n» випробувань визначається за допомогою формули Бернуллі де Р - ймовірність появи А в даному випробуванні.Знайдемо математичні сподівання та дисперсію величини Х. ; ;одержали рекурентну формулу для ймовірностей.Згідно означення математичного сподівання маємо: ;Так як відповідні події утворюють відповідну групу. Використовуючи виведене рекурентне співвідношення можна довести що дисперсія вимірюється за формулою. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів.Ймовірність відмови кожного елемента в одній спробі = 0.1;Скласти закон розподілу числа елементів який відмовили в одній спробі.

10)Закон розподілу Пуассона. Розглянемо ДВВ яка може приймати тільки цілі дискретні значення. При чому послідовність цих значень теоретично не обмежена. Говорять що вона прийме значення :Виражається формулою де «а» деяка додатня величина що називається параметром закону Пуассо.Запишемо цей закон ;Отже значення випадкової величини утворюють повну групу. Знайдемо основні характеристики цого закону: [ m-1=k] ; Теким чином параметр « » це математичне сподівання. Можна довести що отже

11)Рівномірні розподіли. Розглянемо НВВ Х для якої щільність імовірності стала на інтервалі (a;b) і = 0 за його межами: ; ; 1= ; ;Знайдемо числові характеристики НВВ підпорядковані рівномірному закону розподілу : ; ; ;Дисперсія НВВ ; Завдяки симетричності рівномірного розподілу його медіана ; моди немає.Знайдемо ймовірність попадання НВВ на відрізок :

12)Нормальний закон розподілу НВВ. Цей закон відіграє виняткову важливу роль в теорії ймовірності.Видатний рус. математик довів, що випадкова величина Х яка є сума великого числа взаємо незалежних випадкових величин .Вплив кожної з яких на всю суму дуже малий, має розподіл близький до нормалі.Такі випадкові величини як похибки при вимірюванні і відхилення по віддалі точки попадання від деякого центра пристрою, величина зносу деталей підлягають нормальному закону.Щільність розподілу ймовірностей нормального розподілу: ; ; ; число а – центр розсіювання, σ – середнє квадрви\тичне відхилення