1). Теорема о «сжатой переменной» для последовательностей.
Теорема (принцип сжатой последовательности,).
Пусть
даны
последовательности и существует :
:
,
. Известно, что
.
Тогда
.
Док-во:Возьмем
произвольный промежуток
.
Обозначим
.
Тогда
Значит, .
2). Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности тесно связаны между собой.
Теорема.
Последовательность {
n },
n
0 является бесконечно малой
последовательностью тогда и
только
тогда, когда последовательность
является бесконечно большой.
Доказательство
следует из того факта, что неравенство
равносильно
неравенству
и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
3). Лемма о вложенных отрезках.
Для всякой системы вложенных отрезков
существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Если,
кроме того, длина отрезков системы
стремится к нулю:
то
c — единственная общая точка всех
отрезков данной системы.
Доказательство:1)Существование общей точки. Множество левых концов отрезков {an} лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков {bn}, поскольку
.В
силу аксиомы непрерывности, существует
точка c,
разделяющая эти два множества, то есть
в
частности
.
Последнее неравенство означает, что c — общая точка всех отрезков данной системы.
2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки c и c', принадлежащие всем отрезкам системы:
.Тогда
для всех номеров n
выполняются неравенства:
.
В силу условия стремления к нулю длин
отрезков для любого
для
всех номеров n,
начиная с некоторого будет выполняться
неравенство: bn
− an
< E.
Взяв в этом неравенстве
,
получим
Противоречие. Лемма доказана полностью.
4). Критерий Коши для последовательностей.
Последовательность
{ xn
} назовем последовательностью Коши или
фундаментальной, если
Теорема ( Критерий Коши ) Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть {xn}
сходится.
Достаточность.
Пусть {xn}
- фундаментальная последовательность.
Докажем, что она ограничена и
.
Так
как последовательность фундаментальна,
то
,
в
-окресности которой сущ-ют все элементы
x1,x2,x3,...,xN
− 1.
Предположим,
A
= max{
| x1
| , | x2
| , | x3
| ,..., | xN
− 1 | , | xn
− ε
| , | xn
+ ε
| }. В отрезке [A,
-A]
содержатся все элементы последовательности,
т.е. {xn}
- ограниченна. В следствие теоремы
Больцано-Вейерштрасса (
)
< (xn
− ε;xn
+ ε).
в
силу произвольности
.
,
5). Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.
