- •М 1 атрицы
- •Определители матриц
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Обратная матрица
- •Размерность. Базис. Линейное подпространство
- •Векторы. Линейные операции над векторами
- •Прямоугольная (декартова) система координат
- •Скалярное произведения векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Общим уравнением прямой
- •Каноническим уравнением
- •Угол между двумя прямыми
- •Окружность и эллипс
- •Угол между двумя плоскостями
- •Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве
- •Угол между прямей и плоскостью
- •Числовая последовательность
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Предел функции по Гейне
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Определения
- •Непрерывность функции в точке и на множестве
- •Классификация разрывов.
М 1 атрицы
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида
А = ,
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Матрица размера называется матрицей-столбцом, размера - матрицей-строкой, размера - квадратной матрицей n-го порядка.
Определение 2. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: .
Единичной матрицей называется квадратная матрица вида
диагональной матрицей ( =0, если ), а матрица вида -
треугольной матрицей ( = 0, если ). Прямоугольная матрица размера называется ступенчатой, если она имеет вид А =
Определение 4. Матрица называется транспонированной к матрице
, если она получена из матрицы А заменой ее столбцов строками с теми же
номерами, т.е. если .
Таким образом, транспонированная к матрице А размера матрица имеет вид
= и размер .
Определение 5. Суммой (разностью) двух матриц и размера называется матрица размера , элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В .
Определение 6. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы А.
Определители матриц
2
Определение 1. Определителем квадратной матрицы А = 1-го порядка (определителем 1-го порядка) называется число, обозначаемое и равное . Определителем квадратной матрицы 2-го порядка называется число .
Таким образом, определители 2-го и 3-го порядков являются алгебраическими суммами (т.е. суммами и разностями) всевозможных произведений элементов из каждой строки и каждого столбца определителя, причем из каждой строки и каждого столбца берется по одному элементу.
Определение 2.Величина , равная произведению определителя (n – 1)-го порядка , полученного из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и k-го столбца, на число , называется алгебраическим дополнением элемента .
Установим теперь свойства определителей.
Величина определителя:
а) не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.
б) меняет знак при перемене местами любых двух строк или любых двух столбцов.
в) умножается на число k, если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k.
г) равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю.
д) равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.
е) Разложение Лапласа: сумма произведений элементов некоторой строки или столбца определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя:
, .
Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем .
Пример 1. .
Пример 2. Если все элементы определителя , стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, то .
Таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
ж) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю: .
з
2
и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k .
(Иллюстрировать лучше на примере определителя 3-го порядка)
Пример 4. Вычислим определитель Вандермонда 4-го порядка (А.Т. Вандермонд (1735-1796) – французский математик).
Решение. Вычтем из элементов 2-ой, 3-ей и 4-ой строк соответствующие элементы 1-ой строки, получим . Вынесем за знак определителя общие множители 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (свойство в)), затем вычтем из элементов 3-ей и 4-ой строк полученного определителя соответствующие элементы 2-ой строки: . Вынесем за знак определителя общие множители 3-ей и 4-ой строк, затем вычтем из элементов 4-ой строки полученного определителя соответствующие элементы 3-ой строки:
.
Получился определитель треугольного вида, величина которого равна произведению элементов главной диагонали (см. пример 2), т.е. . Поэтому .