Лекция 1 (сокращенный вариант) Основные формулы електростатики

Полагая, что основные элементы теории постоянных электрических и магнитных полей, а также основные уравнения переменного электромагнитного поля известны из курса физики, ниже лишь в краткой конспективной форме приведем основные положения и результаты этой теории.

Поток вектора индукции

Поток вектора индукции через площадку произвольной ориентации определяется формулой

. (1.1)

Ориентацию площадки задаём вектором нормали , расположенным перпендикулярным этой площадке. Произведение является скалярным произведением векторов и . Площадь расположена перпендикулярно потоку силовых линий вектора , рис. 1.1.

Рис. 1.1. Поток вектора через площадку .

Равенство Гаусса-Остроградского

Для точечного заряда, вектор электростатической индукции (смещения) равен:

. (1.2)

где - сила притяжения или отталкивания точечных зарядов и пробного ; – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, и - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума и соответственно относительная диэлектрическая проницаемость среды; - вектор расстояния между зарядами, которые полагаются точечными; - модуль расстояния, равный непосредственно расстоянию между зарядами (будем обозначать как ); - единичный вектор в направлении от одного заряда к другому и указывающий на направление действия силы .

Вектор индукции не зависит от диэлектрической проницаемости среды. Его величину можно упрощенно определить как число силовых линий, пронизывающих перпендикулярно расположенную к ним единичную площадку.

Поток вектора , т.е. общее число линий, проходящее через замкнутую поверхность S, окружающую заряд q, будет равно:

,

где - элемент телесного угла, а полный телесный угол при интегрировании составит . Нетрудно показать, что, если окружить замкнутой поверхностью N - зарядов с суммарным зарядом , то

. (1.3)

Это равенство составляет основу теоремы Гаусса-Остроградского и называется равенством Гаусса-Остроградского. Получено оно русским математиком Остроградским и независимо от него математиком Гауссом. Это равенство гласит, что поток вектора индукции через замкнутую поверхность S любого вида равно сумме зарядов, находящихся внутри объема, ограниченной этой поверхностью. Очевидно, что поток вектора через поверхность S в среде с диэлектрической проницаемостью

. (1.4)

Дивергенция вектора индукции поля

Для исследования локальных характеристик полей целесообразно перейти от равенства Гаусса-Остроградского, описывающего поля в интегральной форме, к его дифференциальному представлению, позволяющему исследовать изменения полей и зарядов как функций пространственных координат при переходе от одного бесконечно малого объема пространства к другому. Если равенство Гаусса-Остроградского позволяет оценить лишь суммарный заряд внутри некоторого объема по данным подсчета потока поля через поверхность, ограничивающую этот объем, то дивергенция поля по рассчитанному полю в заданных точках пространства позволяет оценить распределение плотности заряда в этих точках. Задачи нахождения распределений плотностей зарядов в виде функций координат по соответствующим изменениям поля относятся к классу обратных задач электростатики.

Для определения понятия дивергенция поля выразим заряд через его плотность :

. (1.5)

Тогда равенство Гаусса-Остроградского примет вид:

. (1.6)

Разделим обе части равенства на величину объема V и устремим его в окрестности выбранной точки к нулю:

. (1.7)

Величину

, (1.8)

назовем дивергенцией вектора . Как видно из предыдущего равенства она равна плотности заряда в некоторой точке пространства, т.е.:

. (1.9)

Дивергенция вектора определяется известной формулой:

. (1.10)

На основании (2.1) имеем:

. (1.11)

Таким образом, вычислив сумму частных производных от проекций вектора индукции в заданной точке пространства можно найти в этой точке плотность заряда (с учетом знака). Если , то зарядов в соответствующих точках нет.

Теорема Гаусса-Остроградского

Учитывая, что

, , ,

после интегрирования получим:

. (1.12)

Это интегральное соотношение является содержанием теоремы Гаусса-Остроградского. Эта теорема справедлива также для случаев, когда исследуемый объем ограничен несколькими замкнутыми поверхностями, рис. 1.2.

Рис. 1.2. Объем ограничен четырьмя замкнутыми поверхностями

Определение потенциала

Если взять две точки А и В и найти работу сил поля по перемещению единичного заряда (в этом случае сила равна напряженности поля по определению) , то потенциал или потенциальная функция поля U определяется так: разность значений этой функции U_A и U_B в точках А и В равняется

.

Так же как и в механике, эта работа равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с обратным знаком. Если заряд движется из точки А в точку В под действием сил поля, то очевидно что потенциал точки поля в точке А больше потенциала в точке В и изменение потенциальной энергии будет иметь отрицательный знак по отношению к выполненной работе, т.е. к .

. (1.13)

Так как выполненная работа характеризуется разностью потенциалов, то при расчетах значение имеют не их абсолютные значения, а их разность. Поэтому, удобно эти потенциалы отсчитывать от некоторого условного уровня, который полагается равным нулю. В инженерных расчетах в качестве нулевого потенциала принимают потенциал Земли или больших проводящих (например, металлических) сред. Во многих случаях, при выполнении теоретических расчетов считают, что нулевым потенциалом обладает бесконечно удаленная точка.

Если начало отсчета величины потенциала не определены, то потенциал определятся в виде неопределенного интеграла с точностью до некоторой постоянной таким выражением

. (1.14)