8. Дифференциальное (Линдхардовское) сечение передачи энергии ионом атому образца для экранированного кулоновского потенциала взаимодействия

В случае малых углов рассеяния угол рассеяния в системе центра инерции можно представить в виде

В качестве U(r) – экранированный кулоновский потенциал

замена переменной r = r/cosa,

тогда dr = (rtga/cosa)da,

нижний предел интегрирования при r = r переходит в a = 0, а верхний при r = ¥ в a=p/2

Угол рассеяния в с.ц.м.

mv_¥²/2 = m₁v_¥²/2(m₂/(m₁ + m₂) = E₀M₂/(M₁ + M₂), выражение в круглых скобках перед интегралом является безразмерным и его обратную величину принято называть приведенной (безразмерной) энергией Линдхарда

Подставив значения а₀ и е², получим удобное для вычисления e выражение

Введя x = r/а

ec = g(x)/x,

это выражение получено в предположении малых углов рассеяния c, при которых c/2 @ sin(c/2), поэтому

ec = 2ec/2 @ 2esin(c/2) = 2t^1/2 = g(x)/x,

в параметре t^1/2 = esin(c/2) учитывается не только массы и атомные номера взаимодействующих частиц, начальная энергия частицы m₁, но и угол рассеяния, и, соответственно, прицельный параметр.

Ф ункцию

можно вычислить численно и, соответственно, для каждого x из равенства t^1/2 = g(x)/2x определить t^1/2, т.е. каждому значению t^1/2 можно поставить в соответствие значение x и, таким образом найти функцию G, определяющую зависимость x = G^1/2(t^1/2). Степень ½ у G выбрана для удобства дальнейших преобразований.

Так как x = r/а, то r = аG^1/2(t^1/2), то

дифференциальное сечение упругого рассеяния в с.ц.м.

Так как

dr/dt^1/2 = aG'(t^1/2)/2G(t^1/2), где G'(t^1/2) = dG(t^1/2)/dt^1/2

dt^1/2/dc = ecos(c/2)/2, а dc = dt/e²sin(c/2)cos(c/2),

получим т.н. Линдхардовское сечение рассеяния

где f_L(t^1/2) = tG'(t^1/2) – функция Линдхарда.

Переход к дифференциальному сечению рассеяния в с.ц.м.

t = e²sin²(c/2), то dt = e²sin(c/2)cos(c/2)dc.

Т .к. экр. кулоновский потенциал сферически симметричен, то Линдхардовское дифференциальное сечение рассеяния на угол c

9. Понятие тормнозной способности и удельных потерь энергии при движении иона в твердом теле

Ион M₁, Z₁, движущийся в твердом теле, состоящем из атомов M₂, Z₂. При взаимодействии иона с атомами происходит передача части его энергии атомам, т.е. ион тормозится в твердом теле. В каждый рассматриваемый момент энергия иона равна Е, причем по мере его движения Е уменьшается.

s* – полное (проинтегрированное по всем возможным переданным энергиям) сечение процесса, сопровождающегося передачей энергии от движущегося иона атомам твердого тела. Если ds*(E₂) – дифференциальное сечение передачи энергии в диапазоне E₂ ¸ dE₂, то

где E_2min – минимально возможная переданная энергия ионом в процессе взаимодействия,

E_2max – максимально возможная переданная энергия.

Выделим в твердом теле объем с площадью основания s* и высотой dl, направленной вдоль траектории движения иона.

Концентрация объектов, с которыми взаимодействует ион – n*.

В выделенном объеме находится n*s* dl объектов (рассеивающих центров). Если – средняя энергия, передаваемая рассеивающему центру в однократном процессе взаимодействия при движении иона в выделенном объеме, то на участке траектории dl ионом будет передана энергия (ион потеряет энергию) dE₂ = – n*s*dl. Удельные потери энергии ионом вдоль траектории

По теореме о среднем

У дельные потери энергии ионом

вдоль траектории

Размерность удельных потерь энергии эВ/Å или эВ/нм.

Для интеграла используется специальное название – тормозная способность вещества, соответствующая потерям энергии на единицу пути в веществе с единичной концентрацией рассеивающих центров.

Упрощающие рассмотрение предположения:

1. Твердое тело представляет собой набор атомов с атомной концентрацией n₀, не образующих кристаллическую решетку.

2. Следуя Нильсу Бору, будем рассматривать потери энергии ионом как сумму двух независимых процессов, идущих одновременно:

взаимодействие с ядрами атомов, ("ядерное" или "упругое" взаимо-действие, подстрочный индекс "n"), в ходе этого процесса происходит также изменение направления движения иона;

взаимодействие с электронами атомов твердого тела, сопровожда-ющееся ионизацией атомов и возбуждением их электронной подсистемы ("электронное" или "неупругое" взаимодействие, построчный индекс "е"), в ходе этого процесса направления движения иона не меняется, так как m_e << m₁.

В этих предположениях связь между удельными потерями энергии вдоль траектории и тормозной способностью

Для того чтобы получить конкретный вид ds*(E₂) необходимо знать потенциал взаимодействия.