- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
Программа (вопросы)
по МА(Э) 1 сем (2011-2012гг)
Множества и действия над ними.
Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
Пусть и – произвольные множества. Правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент называется отображением множества во множество , при этом множество называется областью определения отображения , а множество –областью значений этого отображения.
Если элемент отображением сопоставляется элементу , то элемент называют образом элемента при отображении или значением отображения в точке и обозначают , при этом пишут , а сам элемент , который отображением сопоставляется элементу, называют прообразом элемента y при отображении .
(Подчеркнем, что образ элемента при отображении (по определению отображения) определяется однозначно, а прообразов элемента при том же отображении может быть несколько. Множество всех прообразов элемента при отображении обозначается ).
Множество называется графиком отображения .
Пусть задано отображение и множество . Определим новое отображение , полагая, что . Так определенное отображение называется сужением отображения на множество (обозначается ).
Образом множества при отображении называют множество .
Отображения и называют равными друг другу и пишут , если и .
Отображение будем называть
а) функцией, если (в частности, отображение , где – произвольное, необязательно числовое множество, является функцией)
б) числовой функцией или функцией одной переменной , если и .
Пусть даны отображения и . Новое отображение , определенное по следующему правилу: называют суперпозицией отображений и .
Суперпозицию отображений и обычно обозначают символом (таким образом, ), при этом если оба отображения и являются функциями, то их суперпозицию называют сложной функцией.
Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
Отображение называется
а) сюръективным или отображением “на”, если ;
b) инъективным или взаимно однозначным отображением «в», если из того, что следует, что (или, равносильно, если из того, что следует, что );
в) биективным или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно.
Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и , т.е. является биективным. Тогда можно определить новое отображение , полагая, что его образом при отображении является тот единственный элемент , образом которого при отображении является соответствующий элемент : .
Так определенное отображение g называется обратным к отображению и обозначается , т.е. .
Отображение такое, что , , называется тождественным отображением множества в себя.
Непосредственно из определения обратного отображения следует, что
а) обратное отображение биективно;
б) имеют место равенства , т.е. и , т.е. ;
в) обратным к отображению является отображение , т.е. и, следовательно, отображения и являются взаимно обратными.
Если отображение является числовой функцией и имеет обратное отображение , то это обратное отображение называется обратной функцией (к функции ).