- •1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •2. Матрицы. Равенство матриц. Операции над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение матриц
- •3. Определители 2-ого и 3-его порядков: их определения и свойства
- •4. Обратная матрица: определение, необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы для квадратных матриц второго и третьего порядков
- •5. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений
- •6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •7. Определение свободного вектора
- •8. Сложение векторов и умножение их на число
- •9. Базис пространства векторов. Координаты вектора в базисе
- •10. Скалярное произведение и его свойства
- •11. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Длина вектора, угол между векторами.
- •12. Прямоугольная система координат в пространстве и на плоскости. Расстояние между двумя точками
- •13. Различные формы уравнения прямой на плоскости
- •14. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение точки пересечения, угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •15. Вывод канонического уравнения окружности
- •16. Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства
- •17. Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •18. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •19. Плоскость
- •20. Вывод канонического уравнения сферы. Шар. Эллипсоид
- •21. Определение линейного пространства строк
- •22. Линейная независимость и линейная зависимость векторов: определения, примеры
- •23. Базис линейного пространства, его свойства. Координаты вектора в базисе
- •24. Ранг матрицы и методы его нахождения
- •25. Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства
- •26. Ортонормированный базис
- •27. Определения отображения и линейного преобразования. Примеры
- •28. Матрица линейного преобразования
- •29. Собственные векторы матрицы: определение, метод нахождения
19. Плоскость
Определение
Плоскость определяется точкой и нормальным вектором (т.е. ).
Нормальный вектор плоскости - любой ненулевой вектор перпендикулярный любому вектору, лежащему в плоскости .
Вывод уравнения плоскости в Декартовой системе координат
Точка .
Но , . Значит
(*)
Получили уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .
Преобразуем (*):
(**)
Получили каноническое уравнение плоскости.
Неполное уравнение плоскости
Рассмотрим (**)
1. начало координат (точка ) принадлежит плоскости
2. , т.к. , значит плоскость параллельна
3. , значит плоскость параллельна
4. , значит плоскость параллельна
Угол между плоскостями
Углом между плоскостями называется угол между их нормальными векторами:
Таким образом:
1. Плоскости параллельны, если их нормальные векторы колинеарны.
2. Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны.
[_]
20. Вывод канонического уравнения сферы. Шар. Эллипсоид
Сфера
Сфера – поверхность, каждая точка которой равноудалена от некоторой фиксированной точки (центра сферы) на положительное расстояние (радиус сферы).
Вывод канонического уравнения сферы радиуса с центром
сфере
Шар
Шар радиуса с центром в :
шару
Эллипсоид
Эллипсоид – поверхность с каноническим уравнением
[_]
21. Определение линейного пространства строк
Пусть - натуральное фиксированное число.
- множество строк длины
Операции на
Сложение:
Умножение на :
Определение. с операциями сложения и умножения на число называется линейным пространством строк длины . Элементы называются -мерными векторами.
Вектор называется нулевым вектором.
[_]
22. Линейная независимость и линейная зависимость векторов: определения, примеры
Определение
Система векторов ( ) называется линейно независимой, если из равенства следует, что и линейно зависимой, если , не все равные нулю, такие что .
Следствие
Если к линейно зависимой системе добавить какие-то векторы , то полученная система останется линейно зависимой. Действительно, , не все равные нулю, но
Тогда . Значит - линейно зависимая система.
Лемма
- линейно зависимая система векторов тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов.
Доказательство
Векторы линейно зависимы , не все равные нулю :
Пусть
Тогда
Значит - линейно зависимы.
Теорема
В векторы
("бегущая единица") линейно независимы.
Доказательство
Пусть
Пример. Частные случаи линейной зависимости системы векторов в .
. По лемме образуют линейно зависимую систему хотя бы один из них линейно выражается через другой вектор или - коллинеарные вектора. Следовательно, два вектора линейно независимы они неколлинеарны.
. По лемме линейно зависимы хотя бы один из них линейно выражается через остальные векторы например, - компланарные векторы. Следовательно, 3 вектора линейно независимы они некомпланарны. В частности, некомпланарны - линейно независимые векторы.
. Любые 4 вектора линейно зависимы. Действительно, если компланарные, то они линейно зависимы и, следовательно, линейно зависимы. Если не компланарные, то равен их линейной комбинации (см. билет №9) и, следовательно, линейно зависимы.
[_]