1 Преобразование систем координат
1.1 Параллельный переносx=x’+x0; y=y’+y0
1.2 Поворот x=r*cos(a+φ) x=r*cosφ*cosa-r*sinφ*sina
y=r*sin(a+φ) y=r*cosφ*sina+r*sinφ *cosa
x=x’*cosa-y’*sina+x0;
y=x’*sina+y’*cosa+y0
2 Параметрическое Ур-е прямой
r =r0+at; x=x0+lt;y=y0+mt
3 Каноническое Ур-е прямой
t=(x-x0)/l=(y-y0)/m
4 Ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки
(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0); M0(x0,y0),M1(x1,y1)-точки на пр
5 Ур-е прямой в отрезках на осях
(x-a)/(0-a)=(y-0)/(b-0);
-(x/a)+1=y/b=>
x/a+y/b=1
6 Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости
Матрица: A1x+B1y+C1=0 N1=(A1,B1)
A2x+B2y+C2=0 N2=(A2,B2)
6.1 Параллельны(rangA=1,rangA(расш)=2,N1||N2, N1=λN2, C1≠λC2)
6.2 Совпадают(rangA=rangA(расш)=1,N1=λN2,C1=λC2)
6.3Пересекаются(rangA=rangA(расш)=2, N1 || N2, cosφ=(N1N2)/(|N1|*|N2|))
7 Расстояние от точки до прямой на плоскости
d=|Ax1+By1+C|/√(A2+B2)
8 Параметрическое Ур-е плоскости
M0M=au+bδ; r=r0+au+bδ a=(a1,a2,a3); b=(b1,b2,b3)- направл векторы. x=x0+a1u+b1δ; y=y0+a2u+b2δ; z=z0+a3u+b3δ M0(x0,y0,z0)-точка на плоскости
9 Ур-е плоскости проходящей через 3 точки
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0 (посчитать определитель)
x3-x1 y3-y1 z3-z1
10 Ур-е плоскости в отрезках
x/a+y/b+z/c=1
11 Взаимное расположение плоскостей
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
11.1 Параллельны(rangA=1,rangA(расш)=2)
11.2 Совпадают(rangA=rangA(расш)=1)
11.3 Пересекаются по прямой(rangA=rangA(расш)=2, cosφ=(N1N2)/(|N1|*|N2|))
12 Расстояние от точки до плоскости
d= |(A(x1-x)+B(y1-y)+C(z1-z))/(√A2+B2+C2)| = |(Ax1+By1+Cz1+D)/√A2+B2+C2|; D=-Ax-By-Cz
13 Ур-е прямой в пространстве
A1x+B1y+C1z+D1=0 rangA=rangA(расш)=2
A2x+B2y+C2z+D2=0
14 Параметрическое Ур-е прямой в пространстве
x=x0+lt M0M||a=>M0M=at;r-r0=at;r=r0+at
y=y0+mt
z=z0+ht
15 Каноническое Ур-е прямой в пространстве
(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
16 Ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки
(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0)
17 Расстояние от точки до прямой в пространстве
d=|[a,M0M]|/|a|
18 Расстояние между скрещивающимися прямыми
строим паралелепипид; расстояние меж М1 и М2 –это высота паралелепипида; d=V/Sосн= |(a1,a2,M1M2)|/|[a1,a2]|
19 Угол между прямой и плоскостью
sina=|cos((ПИ/2)-a)|=|cosN^a|= |(N,a)/(|N|*|a|)|
20 Эллипс
Это множество точек плоскости сумма расстояний от которых до 2-х заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.x2/a2+y2/b2=1; a-большая полуось, b-малая полуось.Свойства:
20.1 Пересечение с осями координат Ox: y=0 =>x=±a; A1(a,0), A2(-a,0); Oy: x=0 => y=±b; B1(0,b) B2(0,-b); A1,A2,B1,B2-верш
20.2 Симметрия относительно осей M’(x,-y)Є Эллипсу; M(x,y)Є Эллипсу =>симметричен относительно Ox; M’’(-x,y)Є Эллипсу; M’’’(x,y)Є Эллипсу => симметричен относительно Oy; O- центр симметрии.
20.3 Эллипс лежит в конечной части плоскости x2/a2=1-y2/b2 >=0; y2<=b2 ;-b<=y<=b; -a<=x<=a; a2-c2=b2;
B1(0,b)
20.4 x2+y2=a2; x=x’; y=(a/b)y’;(x’)2+(a2/b2)/y’2=a2; x’2/a2+y’2/b2=1
20.5 Параметрическое Ур-е эллипса
x=acost x2/a2+y2/b2=1
y=bsint 0<=t<=2ПИ
20.6 Эксцентриситет эллипса ε=c/a; для окружн ε=0
(F1(c,0), F2(-c,0))
20.7 x=±(a/ε)- директрисы