Математика. Операції над множинами
У математиці є ряд невизначених понять, таких, як точка, пряма, площина, уяву про які дає багатовіковий досвід людини. Множина – приклад ще одного такого поняття.
Множину можна уявити собі як сукупність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою.
Наприклад: множина учнів 11-Б класу; об’єкти множини – діти, ознака, що їх об’єднує – вони є учнями 11-Б класу.
Позначення.
Множини позначають великими літерами латинського алфавіту: А, В, С… .
Елементи множини позначають маленькими латинськими літерами: а, b, c, … .
а
А
(елемент а
належить множині А)
b В (елемент b не належить множині В)
Задати множину можна двома способами:
перелічити всі об’єкти, наприклад: А=
,
маємо 3
А,
7
А;вказати деяку характерну ознаку, наприклад: Z – множина цілих чисел, маємо 0 Z; 0,17 Z.
Множина може бути скінчена та нескінчена, наприклад: скінчена множина - множина учнів 11-б класу; нескінчена множина - всі дійсні числа.
Множина,
що не містить жодного елемента, називається
порожньою, позначається
.
Наприклад, порожньою множиною буде
множина дійсних коренів рівняння х2=
-1.
Для зображення множин застосовують так звані круги Ейлера (діаграми).
Наприклад:
N – множина натуральних чисел; Z – множина цілих чисел; Q – множина раціональних чисел; I – множина ірраціональних чисел; R – множина дійсних чисел.
Множина може бути:
1) підмножиною іншої множини, якщо кожен її елемент є елементом цієї іншої множини.
А
В
А
В,
також В
В
і
В.
2) перерізом множин, якщо вона містить тільки їх спільні елементи
об’єднанням множин, якщо вона містить усі елементи, що є в цих множинах:
С=А В
рівна даній множині, якщо ці множини містять однакові елементи. А=В.
Наприклад:
множина дійних коренів рівняння
,
а множина дійсних коренів рівняння
,
тому А=В.
різницею множин, якщо тільки елементи першої множини без тих елементів, які є і в другій множині:
С=А\В
Вправи:
Дано: Х=
, У=
.
Знайти:
а) Х У ; б) Х У ; в) Х\У; г) У\Х.
Розв’язання:
а)
Х
У=
; б) Х
У=
;
в) Х\У=
; г) У\Х=
Дано: М=
;
N=(0;3).
Знайти: а) М N; б) М N; в) М\N.
Розв’язання:
а
)
М
N=(0;1]
б) М N=[-1;3)
в)
М\N =[-1;0)
Яка з множин є підмножиною іншої, якщо А= і В=
?
Розв’язання:
В А.
Зобразіть кругами Ейлера.
а) А В С; б) А В С; в) А В С.
Розв’язання:
Нехай А, В, С – відповідно множини коренів рівнянь х2=4; (х+1)(х-2)=0;
.
Знайти: а) множини А, В, С; б) А В; в) В С; г)А С; д) С\В; е) В\С; ж) В С А .
Розв’язання:
а) А=
;
В=
;
С=
б) А
В=
в)
В
С=
г)А С=
д) С\В=
е) В\С=
ж) В
С
А=
Наприклад:
1)
А=
;
В=
;
А
В=
n(A)=4;
n(B)=3;
A
B=
n(A B)=7= n(A)+ n(B)=4+3
2) А=
В=
n(A
B)=
A
B=
n(A)=6; n(B)=5;n( A B)=3; n( A B)=8;
n( A B)= n(A)+ n(B) - n( A B) = 6+5 – 3=8
Задача. У класі 32 учні. Із них 16 відвідують футбольну секцію, 12 – шахову, 9 учнів не відвідують цих секцій. Скільки футболістів цікавляться шахами?
Розв’язання:
А – множина всіх учнів, n(A)=32;
В – множина футболістів, n(В)=16;
С – множина шахістів, n(С)=12;
D – множина учнів, що не відвідують секцій; n(D)=9.
B C – множина учнів, що займаються футболом і шахами; n(D)– треба знайти, тому
n(B С)= n(B)+ n(С) - n(B С)
n(B С)= n(A) - n(D)=32-9=23
23=16+23 - n(B С)
23-16-12= - n(B С)
n(B С)=5
Відповідь: 5 учнів
Теорема 3. Якщо А1, А2, …, Ак – скінчені множини і n(A1), n(A2), …, n(Aк) – число елементів відповідних множин, то вибрати к елементів по одному з кожної множини можна.