Задание к работе
Программа, которую необходимо составить для проведения исследований, должна вызывать две подпрограммы вычисления интегралов. Одна из них, реализующая метод Симпсона, приведена в приложении. Вторую, реализующую метод трапеций, нужно составить самостоятельно. Кроме того, необходимо составить подпрограмму-функцию вычисления определенной вариантом задания подынтегральной функции, которую вызывают обе подпрограммы вычисления интегралов.
Рекомендуется следующий алгоритм работы программы:
1. Ввод с терминала начального, конечного значений и шага изменения n .
2. Подсчет с помощью формулы для первообразной и вывод на печать точного значения интеграла.
3. Изменение n в цикле с параметрами, определёнными в разделе 1. Вычисление и вывод на печать при каждом n для обоих способов вычисления интегралов следующих значений:
- приближенного значения интеграла;
- ошибки вычисления интеграла, определенной формулой (9);
- значения коэффициента cA , вычисленного по известным Е и n по соответствующей формуле (12).
С помощью составленной программы необходимо выполнить следующие исследования:
4.1. Провести сравнительный анализ для двух методов вычисления интегралов зависимости ошибки интегрирования от количества n отрезков разбиения интервала интегрирования.
Учитывая различный при разных значениях n вклад в ошибку интегрирования ошибок алгоритма (12) и вычислений (14), следует с помощью составленной программы подсчитать и вывести на печать две таблицы. В одной n должно изменяться от 2 с небольшим шагом до значения, при котором ошибка интегрирования не превышает величины 10-5-10-6. Обычно такая ошибка достигается при значениях n , близких к 100. Во второй n должно изменяться с большим шагом до значения порядка 2-3 тысяч. Следует отметить, что из-за особенности метода Симпсона n должно быть четным. При каждом шаге счета программа должна производить не более 20-30 шагов. В противном случае распечатки таблиц могут оказаться слишком длинными и ЭВМ может потратить на выполнение программы много времени.
4.2. Проверить справедливость гипотезы Рунге о независимости коэффициентов cA в (10) от n .
С этой целью необходимо по таблицам, полученным при выполнении исследований п. 2.1, построить графики зависимости cA от n для двух методов интегрирования и проанализировать их вид в разных диапазонах изменения n.
4.3. Проверить, действительно ли правило Рунге, описанное в п. 1 настоящих указаний, позволяет оценить величину ошибки вычисления интеграла каждым из исследуемых способов.
Для этого нужно по полученным при выполнении п. 2.1 приближенным значениям интегралов для двух близких значений n подсчитать оценку ошибки интегрирования при одном из этих значений n. Далее эту оценку следует сравнить с точным значением ошибки, которое подсчитывает программа по формуле (9). Такое сравнение необходимо произвести несколько раз для малых, средних и больших значений n.
4.4. Дополнительное задание по НИРС. Составить подпрограмму вычисление интеграла с автоматическим выбором шага по правилу Рунге. Предлагается следующий алгоритм работы подпрограммы. Подпрограмме задается начальное значение n и допустимая величина погрешности вычисления интеграла e. Она вычисляет значения интеграла при n и 2n, оценивает cA по правилу Рунге и по значениям cA , и e определяет требуемое для достижении заданной точности число отрезков разбиения интервала интегрирования. Если это число оказывается меньше, чем 2n , то подпрограмма оставляет значение 2n и соответствующее значение интеграла.В противном случае значение интеграла подсчитывается при выбранном новом значении n 2n . Произвести вычисления интеграла с помощью этой подпрограммы при нескольких значениях e . Выяснить, какие величины n выбирает при этом подпрограмма.