2.4 Распределение Максвелла молекул идеального газа по абсолютным значениям их скоростей.

Абсолютное значение скорости молекулы идеального газа - случайная величина. С разной вероятностью она может принимать любые значения от 0 до  :

0   .

Получено методом статистической физики и подтверждено экспериментально, что число молекул в единице объема, скорость которых лежит в малом интервале значений ( , +d :

dn ( = d (2.17)

где m₀ – масса одной молекулы,

k – константа Больцмана,

Т – абсолютная температура

А =

( = = A ² (2.18)

( - функция распределения Максвелла (плотность вероятности).

На рис 2.5 представлен график функции распределения Максвелла по абсолютным скоростям при данной температуре Т.

Рис.2.5. График функции распределения Максвелла по абсолютным скоростям при данной температуре Т.

Вероятность малых и больших значений абсолютных значений скоростей молекул мала. Соответствующие математические расчеты дают, что наивероятнейшая скорость молекул:

_в = =

средняя скорость:

vв=

Средняя квадратичная скорость:

_кв = =

На рис 2.6 представлены графики функции распределения Максвелла по абсолютным скоростям при разных температурах.

Рис. 2.6. Графики функции распределения Максвелла по абсолютным скоростям при разных температурах.

При повышении температуры увеличивается наивероятнейшее значение скорости - максимум графика смещается вправо. Одновременно кривая «расплывается», максимум понижается, так как площадь под кривой неизменна:

n – общее число молекул в единице объема остается постоянным.

При повышении температуры увеличивается число молекул с большими скоростями. Известно, что во многих случаях в химическую реакцию могут вступать только так называемые реакционноспособные молекулы, скорость которых больше некоторой скорости v  v_р.

Число реакционноспособных молекул в единице объема идеального газа равно заштрихованной площади под «хвостом» графика на рис. 2.6.

При повышении температуры увеличивается число реакционноспособных молекул и константа скорости химической реакции повышается. Этим объясняется, в частности, то обстоятельство, что природа держит нас, млекопитающих, почти на грани перегревания при температурах 37-40  С. При температурах всего на несколько градусов выше начинается денатурация белков. Зато это обеспечивает большое число реакционноспособных молекул, высокую скорость химических реакций в организме млекопитающих и как следствие их высокую жизненную активность. Однако это же ставит перед фармацевтическими науками задачу разработки жаропонижающих препаратов.

2.5 Распределение Больцмана по потенциальным энергиям молекул идеального газа. Барометрическая формула Больцмана.

Распределение Больцмана молекул идеального газа по потенциальным энергиям рассмотрим на примере частного случая, когда молекулы идеального газа насходятся в гравитационном поле у поверхности Земли. Считаем, что ускорение свободног падения g=const, так как рассматриваются высоты над поверхностью Земли h значительно меньшие радиуса Земли.

Как следует из выводов статистической физики и опыта, число частиц в единице объема n газа в этом случае зависит от высоты h по формуле:

n = n₀ = n₀ (2.19)

Давление p = nkT (см. формулу 2.3)

p = n₀kT

или

p = p₀ (2.20)

Формулы 2.19 и 2.20 называются барометрическими формулами Больцмана.

В формулах 2.19 и 2.20 n_{0 и} p₀ - число частиц в единице объема и давление у поверхности Земли (когда h = 0) соответственно.

Рис. 2.7. Графики распределения концентрации (а) и давления (б) молекул идеального газа для разных температур: 1 – Т₁, 2 – Т₂ > Т_1.

Гравитационное поле Земли стремится перевести систему в состояние с минимумом потенциальной энергии Е _{пот min}.

Поэтому при H = 0, E_пот. = mgh = 0

n = n_max = n₀, р = p_max = p_0.

Но хаотическое тепловое движение молекул газа стремится создать в системе максимальный беспорядок, состояние с максимальной энтропией S_max.

В борьбе этих двух противоположных тенденций:

1. Е_пот Е_min

2. S  S_max

устанавливается равновесие.

При повышении температуры все более преобладает вторая тенденция (см. рис.2.8). Чем выше температура, тем меньше n₀ и р₀ и тем медленнее n и р уменьшаются с высотой.

Чем больше масса молекулы газа m₀, тем больше число молекул в единице объема n₀ и давление газа р₀ у поверхности Земли и тем быстрее n и р уменьшаются с высотой h (см. рис. 2.9).

Рис. 2.8 Графики распределения концентрации (а) и давления (б) молекул идеального газа с разными молярными массами: 1 – М₁, 2 – М₂ > М₁.

Поэтому тяжелый газы скапливаются у поверхности Земли, их концентрация с высотой уменьшается быстрее, чем легких.

Вопросы и задачи к главе 2.

1. Считая плотность иода  = 9.102кг/м3 , оценить среднее расстояние между центрами молекул в кристаллике иода.

2. Найдите число молекул идеального газа в единице объема при давлении p = 10⁵ Па и температуре t = 20 С. Оцените среднее расстояние между молекулами.

3. Найдите энергию активации перескока молекулы жидкости из одного положения равновесия в другое, считая период колебаний молекул около положения равновесия , а время осёдлой жизни при температуре 20⁰ С.

4. Найдите среднюю квадратическую скорость молекул азота, водорода, кислорода, углекислого газа и водяного пара при температуре 20⁰ С.

5. Пользуясь математическими методами исследования функций на экстремум покажите, что наивероятнейшее значение абсолютной скорости молекулы идеального газа .

6. Начертите графики распределений Максвелла и Больцмана для предельных случаев: T 0 и T→ ∞.

7. Почему в больших городах, отравленных автомобильными выхлопами, больше, чем взрослые, страдают от вдыхания ядовитые тяжёлых газов маленькие дети?

8. Бриз это лёгкий прибрежный ветерок, поднимающийся перед закатом и после восхода солнца. Когда бриз дует с суши на воду, а когда с воды на сушу? Почему?

9. При восхождении высоко в горы иногда возникает горная болезнь одна из причин - понижение парциального давления углекислого газа. Почему парциальное давления углекислого газа понижается с высотой быстрее, нежели парциальные давления кислорода и азота.