Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

Мешков А.Г.

СИСТЕМЫ ЛИНЕНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Учебное пособие для студентов ВТУЗов

Орел 2009

Содержание

1	Метод Гаусса		3
2	Знак суммирования		7
3	Определители и их свойства		10
4	Операции над матрицами		15
	4.1	Первоначальные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
	4.2	Сложение матриц и умножение на числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
	4.3	Умножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17

4.4Обращение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Ранг матрицы

22

Предисловие

Данная книга должна рассматриваться как пособие для первоначального ознакомления с предметом. Для полного понимания затронутых здесь вопросов, автор советует продолжить изучение необходимых разделов по подробным учебникам, указанным в списке литературы. Книга [1] – это один из томов 5-томного знаменитого курса высшей математики академика В.И. Смирнова. Книга [2], написанная академиком Д.К. Фаддеевым, содержит многие из разделов алгебры, изучаемых в университетах, она также относится к числу лучших вузовских учебников. Прекрасный учебник академика А.И. Мальцева [3] содержит разделы алгебры, в которых более других нуждаются физики и прикладники. Недавно вышедшая книга [4] удачно сочетает изложение стандартных разделов и прикладных задач алгебры, которые раньше были рассеяны по разным книгам. Задачник [5] содержит решение всех типовых задач, и может использоваться как самоучитель.

А. Мешков, август 2008.

1Метод Гаусса

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений называется также методом последовательного исключения неизвестных. Поясним его на простом примере. Пусть имеем систему из двух уравнений

a11x1 + a12x2 = b1;

(1.1)

a21x1 + a22x2 = b2;

с некоторыми коэффициентами aik при неизвестных x1 и x2, и свободными членами b1 и b2. Смысл этих обозначений в том, что первый индекс коэффициента aik совпадает с номером уравнения, в котором он находится, а второй – с номером неизвестной, на которую умножается данный коэффициент. Индекс свободного члена bi совпадает с номером соответствующего уравнения. Если b1 = b2 = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Чтобы исключить из уравнений (1.1) неизвестную x2, умножим первое уравнение на a22, а второе – на −a12 и сложим их. Это дает нам одно уравнение с одной неизвестной:

(a11a22 − a21a12)x1 = b1a22 − b2a12:

Аналогично, умножив первое уравнение на −a21, а второе – на a11, получаем

(a11a22 − a21a12)x2 = b2a11 − b1a21:

Считая, что a11a22 − a21a12 ≠ 0 находим требуемое решение системы (1.1):

x1 =	b1a22 − b2a12	; x2 =	b2a11 − b1a21	:
	a11a22 − a21a12		a11a22 − a21a12

Для систем с большим числом уравнений существуют аналогичные формулы, однако эти формулы очень громозкие, и вычисления значений неизвесных по этим формулам неэффективны. Поэтому на практике оказывается рациональнее применять алгоритм Гаусса к каждой конкретной системе уравнений. Чтобы описать алгоритм Гаусса в самом обшем виде, введем некоторые обозначения.

Предположим нам дана система из m уравнений с n неизвестными x1; x2; : : : ; xn:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1;
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2;	(1.2)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm;

Таблица, составленная из коэффициентов системы (1.2) при неизвестных

	a11	a12	: : :	a1n
A =	a21	a22	: : :	a2n		;
	a: : : : : :a: : : : ::::::			: : :a: : :
	m1	m2		mn

называется матрицей системы (1.2) (иногда – основной матрицей системы). Некоторые авторы применяют для записи матриц не круглые, а квадратные скобки.

Числа или выражения, составляющие матрицу, называются ее элементами. Числа или выражения bi в правых частях уравнений называются свободными членами. Если

3

свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае –

неоднородной.

При рассмотрении неоднородных систем кроме основной матрицы вводится расши-

ренная матрица системы (1.2):
	a11	a12	: : : a1n	b1
B =	a21	a22	: : : a2n	b2	:	(1.3)
	a: : : : : :a: : : : :		:::::: : :a: : : : : :b: :
	m1	m2	mn	m

Решением системы (1.2) называется упорядоченный набор чисел (x1; x2; : : : ; xn), при подстановке которых в систему все уравнения превращаются в тождества. Система, не имеющая ни одного решения называется несовместной или противоречивой. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Всякая однородная система всегда совместна, так как она имеет тривиальное решение xi = 0; i = 1; 2; : : : ; n.

Подчеркнем, что по расширенной матрице системы можно однозначно восстановить соответствующую систему уравнений. Например, матрице

	1	0	0	c1
	0	1	0	c2
соответсвует следующая система:	0	0	1	c3

x1 = c1; x2 = c2; x3 = c3:

Отсюда ясно, что для решения линейной системы достаточно привести ее основную матрицу к диагональному виду с единицами вдоль главной диагонали:

1	0	: : :	0
0	1 : : :		0
			...
... ... ...
0	0	: : :	1

Такая матрица называется единичной и обозначается буквой E.

Поясним, что решение системы можно получить двумя способами: 1) оперировать с уравнениями системы; 2) оперировать с расширенной матрицей системы. Эти способы приводят к одному и тому же результату, но второй способ экономнее, особенно если пишется компьютерная программа. Перечислим операции, необходимые для решения системы уравнений.

1.умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

2.прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

3.перестановка уравнений;

4.вычеркивание уравнений вида 0=0;

5.изменение нумерации неизвестных.

Перечисленные операции 1–5 называются элементарными. Очевидно, что все элементарные операции всегда можно проделать в обратном порядке. Следовательно, элементарные операции приводят к системе, равносильной исходной. В методе Гаусса используются только элементарные операции, причем применительно к расширенной матрице системы эти операции выглядят следующим образом:

4

1)умножение какой-либо строки расширенной матрицы на число, отличное от нуля;

2)прибавление к одной строке расширенной матрицы другой строки, умноженной на некоторое число;

3)перестановка строк расширенной матрицы;

4)удаление нулевых строк расширенной матрицы;

5)перестановка столбцов основной матрицы системы.

Умножение строки матрицы на число сводится к умножению каждого элемента строки на это число. Сложение строк производится поэлементно: складываем первые элементы строк и записываем результат на первое место, затем переходим ко второй паре элементов и т. д. Эти правила следуют из того, что получается с уравнениями при выполнении двух первых операций. Третья, четвертая и пятая операции очевидны.

Рассмотрим вначале случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных то есть, m = n в расширенной матрице (1.3). Случай m ≠ n разберем ниже на примерах. Алгоритм Гаусса состоит из нескольких повторяющихся действий или шагов.

Шаг 1. Если в матрице (1.3) a11 = 0, то записываем на первое место ту из строк, в которой первый элемент не равен нулю. Затем умножаем первую строку расширенной матрицы на подходящий коэффициент, и прибавляем ее к каждой из нижележащих строк так, чтобы получить нуль в первой позиции. Например, чтобы уничтожить элемент a21, следует прибавить ко второй строке первую, умноженную на −a21=a11. В результате по-

лучаем следующую эквивалетную матрицу:
B′ =		a11	a12		: : : a1n b1			:
		0	a22′		: : : a2′ n	b2′
	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
		0	an′	2 : : : ann′		bn′

Шаг 2 состоит в выполненении описанных выше операций над подматрицей расположенной ниже первой строки. Если окажется, что a′22 = a′32 = · · · = a′n2 = 0, то следует поменять местами второй стобец со столбцом основной матрицы, имеющим ненулевые элементы ниже первой строки. Выполнив n − 1 шагов, придем к следующей матрице

		a11	a12	a13	: : : a1n b1
		0	a˜22	a˜23	: : : a˜2n		˜b2
					:.: : a˜3n
B˜	= 0		0	a˜33			˜b3 :
	: : : : : : : : : : : : .. : : : : : : :
		0	0	0 : : : a˜		nn	˜b
							n

Матрица такого вида называется треугольной. Приведение расширенной матрицы к треугольному виду называется прямым ходом алгоритма Гаусса. Здесь возможны три случая: 1) a˜ii ≠ 0; i = 1; : : : ; n, система совместна и имеет единственное решение; 2) a˜ii ≠ 0; i = 1; : : : ; r, и в матрице осталось r строк; система совместна, можно выразить из уравнений r первых неизвестных, зависящих от последних n − r неизвестных, как от

˜

параметров; 3) в матрице присутствует одна или несколько строк вида (0; : : : ; 0; bi), где

˜

bi ≠ 0; система несовместна.

В случаях 1) и 2) следует выполнить обратный ход алгоритма. Он начинается с того, что с помощью прибавления последней строки матрицы к вышележащим строкам уничтожаются элементы ain этих строк (в случае 2) – элементы air). Затем с помощью предпоследней строки уничтожаются элементы ai;n−1 вышележащих строк (или ai;r−1) т. д., пока

5

не получим основную матрицу в виде

1 0 : : :

0

˜

1 0 : : :

0

a˜1;r+1

: : :

˜

b1

a˜1;n b1

˜

0 1 : : :

0

˜b2

˜

=

0 1 : : :

0

a˜2;r+1

: : :

a˜2;n ˜b2

;

B1 =

... ... ...

...

...

; B2

... ... ... ...

...

...

... ...

0 0 : : :

1

˜b

0 0 : : :

1

a˜

r;r+1

: : :

a˜

r;n

˜b

r

r

для случаев 1)

˜

и 2) соответственно. Решения имеют в этих случаях вид xi = bi; i = 1; : : : ; n

˜

и xi = bi − a˜1;r+1xr+1 − · · · − a˜1;nxn; i = 1; : : : ; r соответственно.

Решение переопределенных систем, в которых уравнений больше чем неизвестных, и недоопределенных систем, в которых уравнений меньше чем неизвестных, ничем не отличается от того, что изложено выше. Решение переопределенных систем может привести к любому из разобранных трех случаев. Для недоопределенных систем случай 1) невозможен.

Пример 1. Методом Гаусса решить систему уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 = 4; 2x1 + 4x2 + 6x3 = 3; 3x1 + x2 − x3 = 1:

Решение. Записываем расширенную матрицу и выполняем элементарные преобразования

−1	2	4	6	3 0		0	0	−5	:
2	1	2	3	4	1	2	3	4
	3	1	−1	1 3		1	−1	1

Здесь – знак эквивалентности, а вертикальная черта отделяет, для удобства, столбец свободных членов. Числа слева от матрицы означают коэффициенты с которыми складываются первая и вторая строки. Первая строка всегда остается неизменной, а результат сложения записывается на место второй строки. Преобразованная вторая строка дает уравнение 0 = −5, поэтому дальнейшие преобразования не нужны, система несовмествна.

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 = 4; 2x1 + x2 − x3 = 3; 3x1 + 3x2 + 2x3 = 7:

Решение. Записываем расширенную матрицу и выполняем элементарные преобразования

2	1	2	3	4	3	1	2	3	4		1	2	3	4
−1	2	1	−1	3 −		0	−3	−7	−5 −1		0	−3 −7		−5		:
	3	3	2	7 1		0	−3	−7	−5	1	0	0	0	0

Далее удаляем нулевую строку матрицы и выполняем обратный ход алгоритма:

1	2 3			4	3	3		0 −5		2	:
(0	−3 −7			−5)2		(0	−3 −7			−5)
И наконец, выписываем результат
	1						1	(5 − 7x3);
	x1 =		(2 + 5x3); x2 =
		3					3

6

где x3 может иметь любое значение.

Пример 3. Методом Гаусса решить систему уравнений

3x1 − x2 + 5x3	= 2;
x1 − 2x2 + 4x3	= 3;
2x1 + x2 + x3	= −1;

2x1 − 4x2 + 3x3 = 1:

Решение. Первый шаг алгоритма удобно выполнять, когда a11 = 1. Поэтому сразу меняем местами первую и вторую строки расширенной матрицы, и выполняем элементарные

преобразования
		1	−2		4	3				1	−2	4		3
	2			4	3	1			0 0				5	5		:
	3		−1 5			2			0 5			−7		−7
						−1						−7		−7
		2	1 1							0	5
			−									−		−

Из преобразованной матрицы удаляем третью строку, так как она совпадает со второй, а четвертую делим на −5, и выполняем обратный ход алгоритма

1	−2 4		3	1	−2 0		−1	1	0	0	−1
0	5	−7	−7 0		5	0	0	0	1	0	0		:
0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1

Отсюда получаем x1 = −1; x2 = 0; x3 = 1.

2Знак суммирования

Для краткой записи сумм, состоящих из однотипных слагаемых, применяется знак суммирования Σ. Например,

∑i	∑
n	n
ak + ak+1 + · · · + an = ai;	a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = aibi:
=k	i=1

Здесь i – индекс суммирования, k – нижний предел суммирования, n – верхний предел. Знак суммирования имеет несколько простых свойств, которые перечислены ниже.

1. Индекс суммирования можно обозначать любой буквой:

n	n
∑	∑
ai =	aj :
i=k	j=k

Важно только, чтобы нижний и верхний пределы суммирования слева и справа совпадали. 2. Индекс суммирования можно подвергать преобразованию. Например, положив i =

k + s в предыдущей сумме, где s – новый индекс суммирования, получим

∑i	∑
n	n−k
ai =	ak+s:
=k	s=0

Пределы изменения s находим из уравнения i = k + s: подставив в это уравнение i = k, находим s = 0, затем подставляем i = n и получаем s = n − k.

7

3. Множитель, не зависящий от индекса суммирования можно выносить за знак суммы или вносить под знак суммы:

∑	∑i
n	n
Ai =	Ai:
i=k	=k

Чтобы понять это достаточно подробно расписать левую и правую части этого равенства:

∑n

Ai = A1 + A2 + · · · + An;

i=k

∑n

Ai = (A1 + A2 + · · · + An):

i=k

Таким образом, рассмотренное свойство есть новая форма правила вынесения общего множителя за скобки.

4. Слагаемые можно объединять в группы:

∑	∑	∑i
n	n	n
(ai + bi) =	ai +	bi;
i=1	i=1	=1

или в подробной записи

(a1 + b1) + (a2 + b2) + · · · + (an + bn) = a1 + a2 + · · · + an + b1 + b2 + · · · + bn:

Должно быть ясно, что это свойство выражает правило «от перемены мест слагаемых сумма не меняется».

Примеры. Применяя знак суммирования, можно сократить запись линейной системы уравнений (1.2):

∑n

aikxk = bi; i = 1; 2; : : : ; m:

(2.1)

k=1

Можно компактно записать формулу бинома Ньютона:

	∑					−
	n	n		n	n		!
(a + b)n =	i=0 (i )aibn−i;		где	(i ) =	i!(n			i)!	:

Коэффициенты, входящие в эту формулу называются биномиальными коэффициентами. Курс математики содержит огромное число таких примеров.

Часто встречаются также двойные и тройные суммы, например:

∑∑	∑∑∑
m n	n b
aij ;	Aijkxiyj zk:
i=1 j=1	i=m j=a k=

Эти суммы называют также 2-кратной и 3-кратной. Встречаются суммы и более высокой кратности.

Для кратных сумм свойства 1–4, указанные выше остаются справедливыми, и имеется еще одно свойство.

8

В кратных суммах можно изменять порядок суммирования, например:

∑∑	∑j	∑
m n	n	m
aij =		aij :
i=1 j=1	=1 i=1

Действительно, в левой части равенства сначала следует задать значение i и просуммировать элементы i-ой строки матрицы, а затем – сложить суммы, получившиеся в каждой строке. В правой части равенства наоборот, сначала суммируем по столбцам, а потом складываем полученные суммы. Ясно, что в обеих частях равенства получится сумма всех элементов матрицы. В суммах любой кратности независимость от порядка суммирования выражает все то же правило: «от перемены мест слагаемых сумма не меняется». Независимость кратной суммы от порядка суммирования позволяет записывать кратные суммы с одним знаком суммирования. Например,

m n	∑
∑∑
aij =	aij :
i=1 j=1	16i6m
	16j6n

Отметим, что в кратных суммах возможны более сложные замены индексов суммирования, чем в однократных. Рассмотрим для примера два многочлена

∑i	∑
m	n
P (x) = aixi;	Q(x) = bixi:
=0	i=0

Найдем коэффициенты многочлена R(x) = P (x)Q(x). При умножении двух сумм результат будет очевидно содержать произведения каждого слагаемого из первой суммы на каждое слагаемое из второй суммы. Чтобы обеспечить это, следует задать различные индексы суммирования в суммах-сомножителях:

∑	∑	0∑j n
m	n
R(x) =	aixi bj xj =	aibj xi+j :
i=0	j=0	06i6m
		6 6

При «ручных вычислениях» после перемножения надо приводить подобные члены. Мы добьемся этого, обозначив i + j = k, и исключив j или i. Для определености исключим j = k − i. При этом следует учесть, что степень R(x) равна m + n, следовательно 0 6 k 6 m + n. В результате получаем

m∑+n ∑

R(x) = aibk−ixk:

k=0 i

Для выяснения пределов изменения индекса i надо учесть, что 0 6 i 6 m и в то же время 0 6 k − i 6 n. Решив последнее неравенство, получаем

0 6 i 6 m и k − n 6 i 6 k;

следовательно, область изменения i есть пересечение двух указанных интервалов:

(\\\\\\\\\\\\\\\(//////////////////) )		-	i
p	q

9

поэтому
p 6 i 6 q; p = max(0; k − n);	q = min(m; k):
Решение:	q
m+n
∑k	∑
R(x) = ckxk; ck =	aibk−i;
=0	i=p
где p и q указаны выше.

3Определители и их свойства

Понятие определителя возникло при изучении систем линейных уравнений, а затем оно оказалось полезным в самых разных областях математики. В предыдущем параграфе была решена система из двух линейных уравнений

			a11x1 + a12x2 = b1;					(3.1)
			a21x1 + a22x2 = b2:
	и решение имеет следующий вид:
	x1 =	b1a22	− b2a12	; x2 =	b2a11	− b1a21	:	(3.2)
		a11a22			a11a22
			− a21a12			− a21a12
	Выражение a11a22 − a21a12, входящее в эти формулы, называется определителем							(или
	детерминантом) матрицы системы

()

A =	a11	a12		:
	a21	a22
Определитель принято обозначать одним из следующих символов:
			a11		a12
∆ = |A| = det A = a21					a22	:
Последнее обозначение определителя очень похоже					на обозначение		матрицы, разница –

в скобках, обрамляющих таблицу. Поэтому надо помнить, что матрица – это таблица чисел, а определитель – это одно число, и не путать их. Мы ввели пока лишь простейший определитель, называемый определителем второго порядка. Этот определитель равен, как нетрудно заметить, произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов побочной диагонали. Следуя этому правилу, легко проверить справедливость следующих равенств:

b1

a12

a11

b1

b1a22 − b2a12 = b2

a22

≡ ∆1

;

b2a11 − b1a21 = a21

b2

≡ ∆2;

(3.3)

где

≡

– знак тождества. Теперь

мы можем

записать формулы

(3.2)

в компактной форме

x1 =

∆1

;

x2 =

∆2

:

(3.4)

∆

∆

10