§2. Элементы аналитической геометрии

2.1. Предварительные сведения. Всюду далее предполагается, что на плоскости задана декартова (прямоугольная) система координат с осями OX, OY и началом координат в точке O(0;0).

Расстояние от произвольной точки до начала координат задается формулой

, (2.1a)

расстояние между двумя точками , - формулой

. (2.1b)

Координаты точки C (середины отрезка [AB]) можно найти по формуле

; . (2.2)

Если соединить точки O, A направленным отрезком, получим вектор , длина которого задается формулой (2.1a).

2.2. Прямая на плоскости. Среди различных уравнений прямой на плоскости наиболее распространенными можно считать следующие.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, (2.3)

где A, B, C – вещественные числа (неравенство означает, что коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно). Вектор называется вектором нормали и перпендикулярен данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом представляет собой уравнение, разрешенное относительно y:

. (2.4)

Здесь k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла, который прямая образует с положительным направление оси OX).

Уравнение прямой в отрезках записывается в виде

, (2.5)

где a и b – соответствующие координаты точек пересечения прямой с осью OX (точка A(a;0)) и OY (точка B(0;b)).

Например, прямая проходит через точки A(1;0) и B(0;-2); прямая через точки A(1/3;0) и B(0;1/5); (так как уравнение равносильно уравнению .

Каноническое уравнение прямой имеет вид , а параметрическое –

, (2.6)

где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой.

Пример 2.1. Дана прямая . Выписать ее вектор нормали, найти угловой коэффициент, построить прямую на плоскости.

Решение. Сравнивая уравнение данной прямой с (2.4), замечаем, что в нашем случае (коэффициент при x), (коэффициент при y), поэтому . Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно y:

; . (2.7)

Сравнивая с уравнением (2.5), замечаем, что k=3/5. Как известно, для построения прямой необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит прямая. Задавая значения x, из (2.7) можно найти соответствующие значения y: ; . Итак, остается провести прямую, проходящую через точки A(0; 2/5), B(1; 1).

Пример 2.2. Прямая задана параметрическим уравнением . Выписать направляющий вектор данной прямой и координаты двух точек, лежащих на ней, а также координаты ее вектора нормали.

Решение. В соответствии с уравнением (2.6) , а точка A(-2;0) лежит на прямой. Чтобы найти координаты второй точки, лежащей на прямой, зададим какое-нибудь значение параметра t. В частности, при t=1 x=1, y=3, т.е. точка B(-1;-3) принадлежит прямой. Вектор нормали связан с общим уравнением прямой, а чтобы перейти к нему, необходимо в одном из заданных уравнений выразить t через x и полученное выражение подставить во второе уравнение. Например, из первого уравнения , поэтому . Окончательно имеем: ,

Пример 2.3. Привести к уравнению в отрезках прямую, заданную общим уравнением .

Решение. Проведем преобразования общего уравнения, чтобы привести его к виду (2.5).

.

Последнее уравнение и есть искомое уравнение в отрезках.