Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

31-66.doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.08.2019

Размер:

4.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеем линейное однородное уравнение второго порядка

(1)

где a₁, a₂ – постоянные действительные числа.

Будем искать частные решения в виде , где k-const (2)

Тогда ,

Подставляя в данное уравнение, получим

т. к. , то (3)

Следовательно, если k удовлетворяет уравнению (3), то функция (2) будет решением уравнения (1). Уравнение (3) называют характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1).

Корни характеристического уравнения (3).

Возможны следующие случаи:

- действительные и не равные между собой числа.
- действительные равные числа.
- комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Корни характеристического уравнения действительны и различны:

В этом случае имеется частные решения

– два линейно независимых частных решения.

бщее решение будет:

2) Корни характеристического уравнения действительные и равные:

Частные решения и линейно зависимы, т. к.

Будем искать частное решение в виде

где - неизвестная функция

Подставим ее в уравнение (1)

;

Т.к. k₁=k₂, то 2k₁= - a; 2k₁+a₁=0

(k₁ – корень уравнения (3)), то

Получим .

Решая, будим иметь: u=Ax+B, где A, B – const.

Нам достаточно знать одну из ф-ий u(x).

Пусть А=1, B=0, тогда u(x)=x.

Частное решение :

Общее решение будет:

или

3) Корни характеристического уравнения комплексные

Комплексные корни попарно сопряжённые, обозначим их: , ,

где , .

Частные решения можно записать в форме

, . (4)

Это комплексные ф-ии действительного переменного х, удовлетворяющие дифф-му ур-ию (1).

Покажем, что комплексная функция действительного аргумента

, (5)

удовлетворяет ур-ию (1), то этому ур-ию удовлетворяют ф-ии u(x) и v(x).

Подставим ф-ию (5) в ур-ие (1)

;

Комплексная ф-ия равна 0, когда её действительная часть - и мнимая часть - равны 0,

т.е. ;

След-но ф-ии u(x) и v(x) являются решениями ур-ия (1)

Решения (4) представим в виде суммы действительной и мнимой части:

По доказанным выше решениям

ур-ия (1) будит:

, . (6)

Ф-ии и :

линейно не зависимы.

Общее решение ур-ия (1) будет:

или:

где С₁, С₂ – произвольные постоянные.

Примеры:

Характеристическое ур-ие: ;

; k₁=3; k₂=4.

; Общ. решение .

2) ;

; ;

;

Общее решение .

3) ;

;

Корни комплексные: ,

Общее решение .

§9 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное ур-ие n-го порядка имеет вид:

, (1)

где а₁, а₂, …, а_n – постоянные.

Определение: Если для всех x из отр. [a,b] имеет место равенство:

где А₁, А₂, …, А_n_-1 – постоянные числа, не все равны нулю, то говорят, что выражается линейно через ф-ии , , …, .

Определение: n ф-ий , , …, называется линейно независимыми, если ни какая из этих ф-ий линейно не выражается через остальные.

Примеры. Определить будут линейно зависимыми или линейно независимыми ф-ии:

1) , ,

при С₁=3, С₂=0

Ф-ии линейно зависимы

2) y₁=1, y₂=x, y₃=x² – линейно независимы.

;

; Нет таких значений С₁, С₂, С₃, (не все одновременно равны нулю), чтобы выполнялось это равенство.

Теорема: Если ф-ии y₁, y₂, …, y_n являются линейно независимыми решениями ур-ия (1), то его общее решение есть:

, (2)

где С₁, С₂, …, С_n – произвольные постоянные.

Если в ур-ии (1) коэфф. постоянны, то общее решение находится также как и в случае ур-ия второго порядка.

Составляем характеристическое ур-ие:

Находим корни характеристического ур-ия k₁, k₂, k₃, …, k_n.
По характеру корней выписываем частные линейно не зависимые решения.
Найдя n линейно не зависимых частных решений y₁, y₂, …, y_n, записываем общее решение.

Примеры.

Характеристическое уравнение

, биквадратное уравнение

= 0

Корни характеристического ур-ия действительные и различные

Общее решение

Корни характеристического ур-ия действительные, разные и равные.

Общее решение

10. Неоднородные линейные уравнения второго порядка.

10.1) Имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка.

(1)

Структура общего решения уравнения (1) определяется следующей теоремой.

Теорема 1 Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

Док-во. Нужно доказать, что сумма

(3)

есть общее решение уравнения (1)

Подставим сумму в уравнение (1)

вместо у , получим или

(4)

т.к. - решение уравнения (2), то =0

- частное решение уравнения (1), то

Равенство (4) представляет тождество

0 + =

Следовательно есть решение уравнения (1)

Докажем теперь, что выражение (3) есть общее решение уравнения (1), т.е. докажем , что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия :

, (5)

каковы бы ни были числа

Т.к. , где - линейно независимые решения уравнения (2)

- произвольные постоянные , то равенство (3) примет вид

(3^’)

Используя начальные условия (5) будем иметь

Мы получим систему уравнений для определения :

(6)

Система (6) имеет решение, если

Этот определитель есть определитель Вронского

Т.к. функции линейно независимы, то

Следовательно система (6) имеет решение, т.е. существует такие значения , при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям . Теорема доказана.

При отыскании частных решений полезно пользовться результатами следующей теоремы.

Теорема 2 Решение уравнения

, (7)