- •Множества n,z,q,r
- •Числовые промежутки
- •Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- •Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- •Числовая функция
- •Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- •Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- •Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- •Формула Муавра
- •Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- •Многочлены в комплексной области. Условие
- •Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- •Деление многочленов. Частное и остаток
- •Теорема Безу и её следствие
- •Кратность корня. Простые и кратные корни
- •Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- •Последовательность, её геометрическое изображение.
- •Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- •Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- •Первый замечательный предел.
- •Односторонние пределы.
- •Предел функции при х→±∞.
- •Второй замечательный предел. Следствия.
- •Замечательный логарифмический предел
- •Замечательный показательный предел
- •Замечательный степенной предел
- •Функция, ограниченная на данном множестве.
- •Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- •Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- •Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- •Бесконечно большая функция.
- •Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- •Непрерывность функции на промежутке.
- •Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Точки разрыва функции и их квалификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- •Определение производной.
- •Механический смысл производной.
- •Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- •Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- •Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- •Односторонние производные.
- •Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- •Геометрический смысл производной
- •Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- •Правила дифференцирования (теоремы).
- •Вычисление производных основных элементарных функций
- •Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- •Неявная функция и её дифференцирование.
- •Приближенное вычисление приращения функции.
- •Производные высших порядков.
- •Механический смысл 2 производной.
- •Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- •Производная вектор-функции.
Множества n,z,q,r
Множеством называется собрание (совокупность, семейство) некоторых однотипных объектов, - элементов этого множества. Если М-множество, то «а есть элемент множества М» записывается кратко как а М, а «множество А содержится в множества В» записывается с помощью знака включения: А єВ.
N = {1,2,3,..} – множество натуральных чисел
Z = {0,±1,±2,±3,..} – множество целых чисел
Q = {n/m|n,m Z,m≠0} – множество рациональных чисел R = {множество десятичных дробей} – множество действительных чисел
N є Z є Q є R
Числовые промежутки
Множество точек числовой прямой, заключенных между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b.
(а,b)={x R|a<x<b} – интервал с концами a и b.
[c,d]={x R|c≤x≤d} – отрезок с концами c и d.
(u-ε, u+є) = Oε(u) – ε-окрестность точки u
(a,b] = {x R| a<x≤b } – полуоткрытый интервал
[a,b) = {x R|, a≤x<b} – полуоткрытый интервал
Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:
если x > 0, то | x | = x;
если , то | x | = − x.
Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:
, причём | a | = 0 только если a = 0.
.
| ak | = | a | k если ak определено.
Неравенство треугольника:
|a + b| ≤ |a| + |b| или
|a − b| ≥ ||a| − |b||
Для вещественных чисел модуль можно определить и другим способом:
, то есть модуль числа есть максимальное из двух чисел и ,
.
Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
Геометрический смысл абсолютной величины |x|, - расстояние от точки с координатой х на числовой прямой до начала координат.
|x-y| есть расстояние между соответствующими точками на числовой прямой.
Числовая функция
Это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств - как правило, множества действительных чисел R или множества комплексных чисел C.
Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Функция g: Y→X является обратной к функции f: X→Y если для них выполнены следующие два тождества:
f(g(y)) = y для всякого yєY
g(f(x)) = x для всякого xєX
Обратная функция для f обозначается f-1.
График обратной функции f-1 получается из графика исходной функции f, если у каждой точки графика поменять местами координаты и .
Обратные тригонометрические функции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус (arcsin); аркко́синус (arccos); аркта́нгенс (arctg; в иностранной литературе arctan); арккота́нгенс (arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan); арксе́канс (arcsec); арккосе́канс (arccosec; в иностранной литературе arccsc)