1.3.Структурное (комбинаторное) определение количества информации (по Хартли).

Данное определение количества информации применимо лишь к дискретным сообщениям, причем таким, у которых символы равновероятны и взаимно независимы. Количество информации, содержащееся в такого рода сообщениях определяют из следующих соображений.

Пусть дан источник дискретных сообщений , объем алфавита которого равен m. Предположим, что каждое сообщение включает в себя n символов, при этом сообщения различаются либо набором символов, либо их размещением. Число различных сообщений , состоящих из n символов, будет . Предположим, что все сообщения равновероятны и одинакова ценность этих сообщений.

Тогда легко подсчитать количество информации, которое несет каждое сообщение.

Вероятность появления каждого такого сообщения может быть легко найдена:

.

И, следовательно, количество информации в одном сообщении , в соответствии с (1.4), равно:

(бит). (1.5)

Эту формулу предложил Р.Хартли в 1928 г., и она носит его имя. Разделив на количество символов в сообщении (n), получим значение среднего количества информации , приходящееся на один символ сообщения:

(бит / символ), (1.6)

где - вероятность появления одного символа сообщения.

Из соотношений (1.5) и (1.6) вытекают важные свойства дискретных сообщений, символы которых равновероятны и взаимно независимы.

1. Количество информации в сообщении пропорционально полному числу символов в нем – n и логарифму объема алфавита- m.

2. Среднее количество информации, приходящееся на один символ, зависит только от m – объема алфавита.

В реальных дискретных сообщениях символы часто появляются с различными вероятностями и, более того, часто существуют статистическая связь между символами, характеризующаяся условной вероятностью , которая равна вероятности появления символа после символа . Например, в тексте на русском языке вероятность появления различных символов (букв) различна. В среднем, в тексте из 1000 букв буква О появляется 110 раз, Е – 87, А – 75, Т – 65, Н – 65, С – 55, кроме того, существуют статистические связи между буквами, скажем, после гласных букв не может появиться Ь или Ъ.

Исходя из этого, применение формулы вычисления количества информации по Хартли (1.5) и (1.6) не всегда корректно.

1.4.Статистическое определение количества информации (по Шеннону).

Этот подход к определению количества информации в сообщениях, учитывающий не равновероятное появление символов сообщения и их статистическую связь, был предложен К.Шенноном в 1946 г.

Рассмотрение этого метода удобно начать с определения количества информации в дискретных сообщениях, символы которых появляются не равновероятно, однако статистическая связь между символами отсутствует.

Пусть, как и ранее, дан источник дискретных сообщений , с объемом алфавита равным m, который генерирует сообщение, состоящее из n символов. Допустим, что в этом сообщении символ встречается раз, символ раз и так далее вплоть до символа , который встречается раз, причем очевидно, что

При приеме одного символа , как следует из (1.4), получаем количество информации :

,

где - априорная вероятность появления символа .

А количество информации , содержащееся в взаимно независимых символах , будет равно:

.

Аналогично, в символах содержится количество информации :

,

и так далее вплоть до

.

Очевидно, что полное количество информации (I_n), содержащееся в сообщении из n символов, равно сумме количеств информации содержащихся во всех m символах алфавита.

(бит).

Разделив и умножив это выражение на n (n ≠ 0), приведем это выражение к виду:

(бит)

Ясно, что отношение – это априорная вероятность появления i-го символа. Таким образом, при достаточно большом n, имеем: , причем , как сумма вероятностей полной группы событий.

Окончательно получим:

(бит) (1.7)

При этом среднее количество информации, приходящееся на один символ (Н), будет равно:

(1.8)

Определенная таким образом величина Н называется энтропией, а формула (17) известна как формула Шеннона для энтропии источника дискретных сообщений. Энтропия определяет среднее количество информации, приходящееся на один символ дискретного сообщения.

В общем случае, символы, входящие в сообщения, могут появляться не только с различной вероятностью, но и быть статистически зависимыми. Статистическая зависимость может быть выражена условной вероятностью появления одного символа после другого.

Чтобы учесть статистические связи между символами, входящими в сообщение, вводят понятие условной энтропии.

Условная энтропия ( ) определяется выражением

, (1.9)

где – условная вероятность появления символа после символа . Количество информации , содержащееся в такого рода сообщении длиной n символов, равно:

(бит) (1.10)