4. Задачи контрольной работы

Задачи № 1-10. Даны вершины треугольника А(x₁, y₁), В(x₁, y₁), С(x₁, y₁). Составить уравнения: а) стороны ВС; б) высоты АМ, опущенной из вершины А на сторону ВС; в) медианы, проведенной из вершины С. Найти длину высоты АМ.

1) А(5; 1), В(-1; -1), С(3; 2).

2) А(3; -1), В(1; -1), С(5; 1).

3) А(2; -1), В(2; 2), С(-5; 2).

4) А(-1; 1), В(4; -1), С(3; 4).

5) А(6; 1), В(2; -3), С(3; -1).

6) А(-3; 4), В(1; -2), С(3; 5).

7) А(-2; -3), В(1; 5), С(6; 2).

8) А(-4; -2), В(1; 2), С(4; -1).

9) А(1; 5), В(3; 8), С(6; -1).

10) А(-2; 1), В(1; 4), С(4; -2).

Задачи № 11-20. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Жордана-Гаусса; б) методом обратной матрицы; в) по формулам Крамера.

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Задачи № 21-30. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задачи № 31-40. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

Задачи № 41-50. Найти общее и частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, если указаны начальные условия .

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

5. Вопросы для подготовки к зачету

1. N-мерные векторы. Линейные операции над n-мерными векторами. Скалярное произведение и длина n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольников.

2. Угол между n-мерными векторами. Теорема о равенстве двух ненулевых векторов. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Теорема о коллинеарности двух векторов.

3. Разложение вектора по системе векторов.

4. Уравнение прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

5. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Положение плоскости относительно координатных осей.

6. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

7. Система m уравнений с n переменными. Разрешенные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Жордановы преобразования систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений.

8. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

9. Собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

10. Собственные векторы матрицы Алгоритм нахождения всех собственных векторов матрицы.

11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения, виды. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка.

12. Уравнения с разделяющимися переменными.

13. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

15. Уравнения в полных дифференциалах.

16. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка.

17. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.