Добавил:
Studfiles2
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
.tex\magnification=1200
\documentstyle{amsppt}
\tolerance 1250
\hcorrection{-9truemm}
\font\sc=Cmcsc10
\Monograph
\NoRunningHeads
\pageno=2
\pagewidth{17truecm}
\pageheight{24truecm}
\define\de{\sc ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ}
\define\ex{\sc ЏаЁ¬Ґа }
\define\so{\sc ђҐиҐЁҐ}
\define\re{\sc ‡ ¬Ґз ЁҐ}
\document
\footline={\hfil}
\head ѓ®бг¤ абвўҐл© Є®¬ЁвҐв ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ\
Ї® ўлб襬㠮Ўа §®ў Ёо\\
\\
Њ®бЄ®ўбЄЁ© Ј®бг¤ абвўҐл© ўЁ жЁ®л©\\
вҐе®«®ЈЁзҐбЄЁ© гЁўҐабЁвҐв Ё¬.\ Љ.~ќ.~–Ё®«Є®ўбЄ®Ј®\endhead
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\head Љ 䥤а ``‚лби п ¬ ⥬ вЁЄ ''\endhead
\vskip120truept
\topmatter
\title Љ‚Ђ„ђЂ’“ђЌ›… ”ЋђЊ“‹›\endtitle
\endtopmatter
\head ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § Ёп Ї® Єгабг ``—Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л''\endhead
\vskip95truept
\head\hfil ‘®бв ўЁвҐ«м: ЋбЁЇҐЄ® Љ.~ћ.\endhead
\vskip170truept
\head Њ®бЄў 1995\endhead
\newpage
\footline={\hss\tenrm-- \folio\ --\hss}
\head ‚ўҐ¤ҐЁҐ\endhead
…б«Ё $f(x)$ --- ҐЇаҐалў п ®в१ЄҐ $[a,b]$ дгЄжЁп Ё $F(x)$ --- ҐҐ
ЇҐаў®®Ўа § п, в® Ї® д®а¬г«Ґ Ќмов® --‹Ґ©ЎЁж
$$\int_a^bf(x)\,dx=F(a)-F(b).$$
Ћ¤ Є® з бв® ЇҐаў®®Ўа § п Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм ўла ¦Ґ зҐаҐ§ н«Ґ¬Ґв алҐ дгЄжЁЁ
Ё«Ё пў«пҐвбп б«ЁиЄ®¬ б«®¦®©. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ЇаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ ЁвҐЈа «®ў
$$\int_0^1e^{-x^2}\,dx,\qquad\int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^{10}}$$
ў ЇҐаў®¬ б«гз Ґ ¬л бв «ЄЁў Ґ¬бп б ⥬, зв® ЇҐаў®®Ўа § п ¤«п $e^{-x^2}$ Ґ
ўла ¦ Ґвбп зҐаҐ§ н«Ґ¬Ґв алҐ дгЄжЁЁ, ў® ўв®а®¬ --- б ⥬, зв®
ЇҐаў®®Ўа § п ¤«п дгЄжЁЁ $(1+x^2)^{-10}$ пў«пҐвбп б«ЁиЄ®¬ Ја®¬®§¤ЄЁ¬
ўла ¦ҐЁҐ¬.
Ља®¬Ґ в®Ј®, Їа ЄвЁЄҐ Ї®¤лвҐЈа «м п дгЄжЁп $f(x)$ ®Ўлз® Ўлў Ґв § ¤ ў
¤ЁбЄаҐв®¬ зЁб«Ґ в®зҐЄ. ‚ н⮬ б«гз Ґ ЇҐаў®®Ўа § п $F(x)$ ў®®ЎйҐ Ґ ¬®¦Ґв
Ўлвм ©¤Ґ в®з®. ’Ґ¬ б ¬л¬ ў®§ЁЄ Ґв § ¤ з ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® ўлзЁб«ҐЁп
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® ЁвҐЈа « ®в дгЄжЁЁ Ї® Ёд®а¬ жЁЁ ® § 票пе нв®© дгЄжЁЁ ў
ҐЄ®в®а®© бЁб⥬Ґ в®зҐЄ. ’ Є®Ј® த д®а¬г«л §лў овбп {\it Єў ¤а вгал¬Ё
д®а¬г« ¬Ё}. ‚ ¤ ®¬ Ї®б®ЎЁЁ а бб¬ ваЁў овбп ®б®ўлҐ ¬Ґв®¤л Ї®бв஥Ёп
Їа®б⥩иЁе Єў ¤а вгале д®а¬г« Ё ®жҐЄЁ Ёе Ї®ЈаҐи®б⥩.
\head 1. ”®а¬г« Їаאַ㣮«мЁЄ®ў\endhead
ђ бᬮваЁ¬ § ¤ зг ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® ўлзЁб«ҐЁп ЁвҐЈа «
$$\int_{-h/2}^{h/2}f(x)\,dx$$
Ї® § 票о $f(0)=f_0$. …бвҐб⢥® бзЁв вм, зв® дгЄжЁп ўбо¤г ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®
а ў $f_0$, Ё § ¬ҐЁвм ўлзЁб«ҐЁҐ ЁвҐЈа « ®в Ёб室®© дгЄжЁЁ
ўлзЁб«ҐЁҐ ЁвҐЈа « ®в Ї®бв®п®© $f_0$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¬л ЇаЁе®¤Ё¬ Є
Їа®б⥩襩 Єў ¤а вга®© д®а¬г«Ґ
$$\int_{-h/2}^{h/2}f(x)\,dx\approx hf_0,$$
§лў Ґ¬®© {\it д®а¬г«®© Їаאַ㣮«мЁЄ®ў}. ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« д®а¬г«л
Їаאַ㣮«мЁЄ®ў § Є«оз Ґвбп ў ⮬, зв® Ї«®й ¤м Ї®¤ Ја дЁЄ®¬ дгЄжЁЁ $y=f(x)$
§ ¬ҐпҐвбп Ї«®й ¤м Їаאַ㣮«мЁЄ б ўлб®в®©, а ў®© $f(0)$.
ЋжҐЁ¬ Ї®ЈаҐи®бвм д®а¬г«л Їаאַ㣮«мЁЄ®ў ў ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁЁ, зв® г дгЄжЁЁ $f(
x)$ бгйҐбвўгҐв ҐЇаҐалў п ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п. Џ® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а Ё¬ҐҐ¬
$$f(x)=f_0+f_0'x+\frac{f''(\xi)}{2!}x^2,$$
Ј¤Ґ $f_0'=f'(0)$. Ћвбо¤
$$\int_{-h/2}^{h/2}f(x)\,dx=hf_0+\int_{-h/2}^{h/2}\frac{f''(\xi)}{2!}x^2\,dx.
$$
Џ®«®¦Ё¬
$$M_2=\max_{x\in[-h/2,h/2]}|f''(x)|.$$
’®Ј¤
$$\left|\int_{-h/2}^{h/2}f(x)\,dx-hf_0\right|\le\frac{M_2}2\int_{-h/2}^{h/2}x
^2\,dx=\frac{M_2}{24}h^3.\tag1.1$$
\head 2. “б«®¦Ґ п д®а¬г« Їаאַ㣮«мЁЄ®ў\endhead
Џгбвм Ё¬ҐҐвбп ®в१®Є $[a,b]$ Ё вॡгҐвбп ЇаЁЎ«Ё¦Ґ® ўлзЁб«Ёвм
$$\int_a^bf(x)\,dx.$$
ђ §®ЎмҐ¬ ®в१®Є $[a,b]$ $N$ а ўле з б⥩ в®зЄ ¬Ё
$$x_i=a+ih,\quad i=0,1,\dots,N,\qquad h=\frac{b-a}N.$$
Ќ Є ¦¤®¬ Ё§ ®в१Є®ў $[x_i,x_{i+1}]$, $i=0,\dots,N-1$, ўлзЁб«Ё¬ § 票Ґ
дгЄжЁЁ ў б।Ґ© в®зЄҐ $x_{i+1/2}=a+(i+1/2)h$ Ё ЇаЁ¬ҐЁ¬ д®а¬г«г
Їаאַ㣮«мЁЄ®ў
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)\,dx\approx hf_{i+1/2},\tag2.1$$
Ј¤Ґ $f_{i+1/2}=f(x_{i+1/2})$.
Џ®бЄ®«мЄг
$$\int_a^bf(x)\,dx=\sum_{i=0}^{N-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)\,dx,$$
в®, б«®¦Ёў ЇаЁЎ«Ё¦ҐлҐ а ўҐбвў \thetag{2.1}, Ї®«гзЁ¬
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx h(f_{1/2}+f_{3/2}+\dots+f_{N-1/2}).\tag2.2$$
”®а¬г« \thetag{2.2} §лў Ґвбп {\it гб«®¦Ґ®© д®а¬г«®© Їаאַ㣮«мЁЄ®ў\/}
(з бв® Ё¬Ґ® нвг д®а¬г«г §лў ов {\it д®а¬г«®© Їаאַ㣮«мЁЄ®ў\/}).
„«п ®жҐЄЁ Ї®ЈаҐи®бвЁ д®а¬г«л \thetag{2.2} ЇаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® дгЄжЁп $f(x)$
Ё¬ҐҐв ҐЇаҐалўго ўв®аго Їа®Ё§ў®¤го ®в१ЄҐ $[a,b]$ Ё
$$M_2=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.$$
“зЁвлў п ®жҐЄг \thetag{1.1}, Ё¬ҐҐ¬
$$\biggl|\int_a^bf(x)\,dx-h\sum_{i=0}^{N-1}f_{i+1/2}\biggr|\le\sum_{i=0}^{N-1
}\frac{M_2}{24}h^3=\frac{M_2}{24}(b-a)h^2.$$
‚ бЁ«г а ўҐбвў $Nh=b-a$ ¬®¦® ЇҐаҐЇЁб вм нв㠮楪г б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬
$$\biggl|\int_a^bf(x)\,dx-h\sum_{i=0}^{N-1}f_{i+1/2}\biggr|\le\frac{M_2(b-a)
^3}{24N^2}.$$
\head 3. €бЇ®«м§®ў ЁҐ ЁвҐаЇ®«пжЁ®®Ј® ¬®Ј®з«Ґ ‹ Ја ¦ ¤«п Ї®бв஥Ёп
Єў ¤а вгале д®а¬г« \endhead
Ћ¤Ё¬ Ё§ ®ЎйЁе ЇаЁҐ¬®ў Ї®бв஥Ёп Єў ¤а вгале д®а¬г« пў«пҐвбп § ¬Ґ
дгЄжЁЁ, § ¤ ®© ®в१ЄҐ $[a,b]$, ҐЄ®в®а®© Ў®«ҐҐ Їа®бв®© Ё ў в® ¦Ґ ўаҐ¬п
Ў«Ё§Є®© Є Ёб室®© дгЄжЁҐ©. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё $f(x)$ Ё§ўҐбв ў ҐЄ®в®але
в®зЄ е ®в१Є $[a,b]$ \ $x_0,x_1,\dots,x_n$, в® ¬®¦® § ¬ҐЁвм ҐҐ
ЁвҐаЇ®«пжЁ®л© ¬®Ј®з«Ґ ‹ Ја ¦ $L_n(x)$ Ё Ї®«®¦Ёвм
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx\int_a^bL_n(x)\,dx.$$
„«п ЁвҐаЇ®«пжЁ®®Ј® ¬®Ј®з«Ґ ‹ Ја ¦ Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® а ўҐбвў® (б¬.\ [7,
бва.\ 9])
$$L_n(x)=\sum_{i=0}^nl_{ni}(x)f_i,$$
Ј¤Ґ
$$l_{ni}(x)=\frac{(x-x_0)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_n)}{(x_i-x_0)
\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots(x_i-x_n)},\qquad f_i=f(x_i).$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ї®«гз Ґ¬ Єў ¤а вгаго д®а¬г«г
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^nA_if_i,\tag3.1$$
ў Є®в®а®©
$$A_i=\int_a^bl_{ni}(x)\,dx.\tag3.2$$
\remark\re …б«Ё $f(x)$ --- ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ $k\le n$, в® ў бЁ«г
Ґ¤Ёб⢥®бвЁ ЁвҐаЇ®«пжЁ®®Ј® ¬®Ј®з«Ґ ‹ Ја ¦ $f(x)\equiv L_n(x)$. ’Ґ¬
б ¬л¬ Єў ¤а вга п д®а¬г« \thetag{3.1} в®з ¬®Ј®з«Ґ е б⥯ҐЁ $k\le n
$. ‚ з бв®бвЁ, ЇаЁ ўбҐе $k=0,1,\dots,n$
$$\int_a^bx^k\,dx=\sum_{i=0}^nA_ix_i^k.\tag3.3$$
\endremark
\example{\ex3.1} Џ®бва®Ёвм Єў ¤а вгаго д®а¬г«г ўЁ¤
$$\int_{-1}^1f(x)\,dx\approx A_0f(-1/2)+A_1f(0)+A_2f(1/4).$$
\endexample
\demo\so Њ®¦® Ўл«® Ўл ўлзЁб«пвм $A_0$, $A_1$ Ё $A_2$ Ї® д®а¬г« ¬ \thetag{3.2
}. Ќ ЇаЁ¬Ґа,
$$A_0=\int_{-1}^1\frac{x(x-1/4)}{3/8}\,dx=\frac83\left.\left(\frac{x^3}3-
\frac{x^2}8\right)\right|_{-1}^1=\frac{16}9.$$
Њл ¦Ґ ў®бЇ®«м§гҐ¬бп а ўҐбвў ¬Ё \thetag{3.3}. €¬ҐҐ¬
$$\align\int_{-1}^1\,dx&=A_0+A_1+A_2,\\
\int_{-1}^1x\,dx&=A_0\left(-\frac12\right)+A_2\frac14,\\
\int_{-1}^1x^2\,dx&=A_0\left(-\frac12\right)^2+A_2\left(\frac14\right)^2.
\endalign$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ї®«гз Ґ¬ б«Ґ¤гойго бЁб⥬г
$$\left\{\alignedat3&A_0&+A_1&+&A_2&=2,\\
-\frac12&A_0&&+&\frac14A_2&=0,\\
\frac14&A_0&&+&\frac1{16}A_2&=\frac23.\endalignedat\right.$$
ђҐи п нвг бЁб⥬г, 室Ё¬
$$A_0=\frac{16}9,\qquad A_1=-\frac{10}3,\qquad A_2=\frac{32}9.$$
‘«Ґ¤®ў ⥫м®, ЁбЄ®¬ п Єў ¤а вга п д®а¬г« Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$\int_{-1}^1f(x)\,dx\approx \frac{16}9f(-1/2)-\frac{10}3f(0)+\frac{32}9f(1/4
).$$
\enddemo
\head 4. Љў ¤а вгалҐ д®а¬г«л Ќмов® --Љ®вҐб \endhead
„«п ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® ўлзЁб«ҐЁп ЁвҐЈа «
$$\int_a^bf(x)\,dx$$
а §®ЎмҐ¬ ®в१®Є $[a,b]$ $n$ а ўле з б⥩ в®зЄ ¬Ё
$$x_i=x_0+ih,\quad i=0,1,\dots,n,\qquad h=\frac{b-a}n$$
($x_0=a$, $x_n=b$). ‡ ¬ҐЁ¬ дгЄжЁо $f(x)$ ҐҐ ЁвҐаЇ®«пжЁ®л© ¬®Ј®з«Ґ
‹ Ја ¦ , Ї®бва®Ґл© Ї® § зҐЁп¬ нв®© дгЄжЁЁ ў в®зЄ е $x_0,x_1,\dots,x_n$.
„«п а ў®®вбв®пйЁе 㧫®ў ЁвҐаЇ®«пжЁЁ (б¬.\ [7, бва.\ 12])
$$l_{ni}(x)=\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}q(q-1)\dots(q-i+1)(q-i-1)\dots(q-n),$$
Ј¤Ґ
$$q=\frac{x-x_0}h.\tag4.1$$
‘¤Ґ« ў § ¬Ґг ЇҐаҐ¬Ґ®© \thetag{4.1} Ё гзЁвлў п, зв® $dx=h\,dq$, Ї®«гзЁ¬
Єў ¤а вгаго д®а¬г«г \thetag{3.1}, ў Є®в®а®©
$$A_i=h\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}\int_0^nq(q-1)\dots(q-i+1)(q-i-1)\dots(q-n)
\,dq.$$
Џ®«®¦Ё¬
$$H_i=\frac1n\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}\int_0^nq(q-1)\dots(q-i+1)(q-i-1)
\dots(q-n)\,dq.\tag4.2$$
’ Є Є Є $h=\dfrac{b-a}n$, в® $A_i=(b-a)H_i$. ’Ґ¬ б ¬л¬ Ї®«гз Ґ¬ Єў ¤а вгаго
д®а¬г«г
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx(b-a)\sum_{i=o}^nH_if_i,\tag4.3$$
§лў Ґ¬го {\it Єў ¤а вга®© д®а¬г«®© Ќмов® --Љ®вҐб }. ‚Ґ«ЁзЁл \thetag{4.2}
§лў овбп {\it Є®нддЁжЁҐв ¬Ё Љ®вҐб }. „«п Ёе бгйҐбвўгов в Ў«Ёжл.
Ћв¬ҐвЁ¬ ҐЄ®в®алҐ Їа®б⥩訥 бў®©бвў Є®нддЁжЁҐв®ў Љ®вҐб . Џ®бЄ®«мЄг
Єў ¤а вга п д®а¬г« \thetag{4.3} в®з ¤«п «оЎ®Ј® ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ $k\le n
$, в® ® , ў з бв®бвЁ в®з ¤«п $f(x)\equiv1$. Џ®¤бв ўЁў нвг дгЄжЁо ў
\thetag{4.3}, 室Ё¬
$$\sum_{i=0}^nH_i=1.\tag4.4$$
Ља®¬Ґ в®Ј®, ҐЇ®б।б⢥® Ё§ \thetag{4.2} ўл⥪ ов а ўҐбвў
$$H_{n-i}=H_i,\quad i=0,1,\dots,n-1.\tag4.5$$
\head 5. ”®а¬г« ва ЇҐжЁ©\endhead
ђ бᬮваЁ¬ Єў ¤а вгаго д®а¬г«г Ќмов® --Љ®вҐб ЇаЁ $n=1$. ‚ н⮬ б«гз Ґ $h=b
-a$, б ¬ д®а¬г« Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx h(H_0f_0+H_1f_1).$$
Џ®«м§гпбм бў®©бвў ¬Ё \thetag{4.4} Ё \thetag{4.5}, 室Ё¬
$$\gather H_0+H_1=1,\\
H_0=H_1.\endgather$$
‘«Ґ¤®ў ⥫м®, $H_0=H_1=1/2$.
€в Є, Ї®«гзҐ д®а¬г«
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx h\frac{f_0+f_1}2,$$
§лў Ґ¬ п {\it д®а¬г«®© ва ЇҐжЁ©}.
ЋжҐЁ¬ Ї®ЈаҐи®бвм д®а¬г«л ва ЇҐжЁ©. „«п Ї®ЈаҐи®бвЁ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп дгЄжЁЁ
¬®Ј®з«Ґ®¬ ‹ Ја ¦ ЇҐаў®© б⥯ҐЁ Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® а ўҐбвў® (б¬.\ [7, бва.\ 10,
12])
$$f(x)-L_1(x)=\frac{f''(\xi)}2h^2q(q-1),$$
Ј¤Ґ $\xi$ ҐЄ®в®а п в®зЄ Ё§ ЁвҐаў « $(a,b)$, $q$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ® а ўҐбвў®¬
\thetag{4.1}. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ё¬ҐҐ¬
$$\multline\quad\left|\int_a^bf(x)\,dx-h\frac{f_0+f_1}2\right|=\left|\int_a^b
(f(x)-L_1(x))\,dx\right|\\
=\left|\int_0^1\frac{f''(\xi)}2h^3q(q-1)\,dq\right|\le\frac{M_2}2h^3\int_0^1q
(1-q)\,dq=\frac{M_2}{12}h^3.\quad\endmultline$$
Ђ «®ЈЁз® гб«®¦Ґ®© д®а¬г«Ґ Їаאַ㣮«мЁЄ®ў ¬®¦® Ї®бва®Ёвм гб«®¦Ґго
д®а¬г«г ва ЇҐжЁ©, а §ЎЁў ўҐбм ®в१®Є $[a,b]$ $n$ а ўле з б⥩ Ё ЇаЁ¬ҐЁў
Є ¦¤®© Ё§ з б⥩ д®а¬г«г ва ЇҐжЁ©. ’®Ј¤ $h=\dfrac{b-a}n$,
ᮮ⢥вбвўгой п Єў ¤а вга п д®а¬г« Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx h\left(\frac{f_0}2+f_1+\dots+f_{n-1}+\frac{f_n}2
\right).$$
ЏаЁ н⮬ ¤«п Ї®ЈаҐи®бвЁ нв®© Єў ¤а вга®© д®а¬г«л (¬л ®Ў®§ з Ґ¬ ҐҐ зҐаҐ§ $R
_t$) Ўг¤гв бЇа ўҐ¤«Ёўл Ґа ўҐбвў
$$R_t\le n\frac{M_2}{12}h^3=\frac{M_2}{12}(b-a)h^2=\frac{M_2(b-a)^3}{12n^2}.
\tag5.1$$
\example{\ex5.1} ‚ бЄ®«мЄЁе в®зЄ е ¤® ўлзЁб«Ёвм дгЄжЁо $f(x)=e^{x^2}$,
зв®Ўл ЇаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ ЁвҐЈа «
$$\int_0^1e^{x^2}\,dx$$
Ї® гб«®¦Ґ®© д®а¬г«Ґ ва ЇҐжЁ© Ї®ЈаҐи®бвм Ґ ЇаҐў®б室Ё« $10^{-5}$.
\endexample
\demo\so Џ®бЄ®«мЄг $f''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}$, в® $M_2=6e$. €§ \thetag{5.1}
ўл⥪ Ґв, зв® ¤«п ¤®бвЁ¦ҐЁп вॡ㥬®© в®з®бвЁ ¤®бв в®з® ўлЇ®«ҐЁп
Ґа ўҐбвў
$$\frac{M_2}{12n^2}\le10^{-5}.$$
Ћвбо¤ $n\ge100\sqrt{5e}=368,6\dots\,\,$. —Ёб«® ўлзЁб«ҐЁ© дгЄжЁЁ ЇаЁ
а §ЎЁҐЁЁ ®в१Є $n$ з б⥩ а ў® $n+1$, Ї®н⮬㠤«п ўлзЁб«ҐЁп
а бб¬ ваЁў Ґ¬®Ј® ЁвҐЈа « б § ¤ ®© в®з®бвмо Ї®вॡгҐвбп 室Ёвм § 票п
дгЄжЁЁ ў 370 в®зЄ е.
\enddemo
\head 6. ”®а¬г« ‘Ё¬Їб® \endhead
Џгбвм ⥯Ґам $n=2$, в.Ґ.\ $x_0=a$, $x_1=a+h$, $x_2=b$, $h=\dfrac{b-a}2$.
€§ \thetag{4.2} Ё¬ҐҐ¬
$$H_0=\frac14\int_0^2(q-1)(q-2)\,dq=\frac14\left.\left(\frac{q^3}3-\frac{3q^2
}2+2q\right)\right|_0^2=\frac16.$$
’®Ј¤ ў бЁ«г \thetag{4.5} $H_2=H_0=1/6$, Ё§ \thetag{4.4} ўл⥪ Ґв, зв® $H_1
=2/3$. €в Є, ¬л Ї®«гзЁ«Ё Єў ¤а вгаго д®а¬г«г
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac h3(f_0+4f_1+f_2),$$
Є®в®а п §лў Ґвбп {\it д®а¬г«®© ‘Ё¬Їб® }. ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« нв®© д®а¬г«л
§ Є«оз Ґвбп ў ⮬, зв® ў¬Ґбв® ЁвҐЈа « ®в Ёб室®© дгЄжЁЁ ўлзЁб«пҐвбп
ЁвҐЈа « ®в Ї а Ў®«л, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ § 票п дгЄжЁЁ ў в®зЄ е $a$, $\dfrac
{a+b}2$ Ё $b$.
ЋжҐЁ¬ Ї®ЈаҐи®бвм д®а¬г«л ‘Ё¬Їб® . ЃҐ§ ®Ја ЁзҐЁп ®Ўй®бвЁ ¬®¦® бзЁв вм,
зв® з «® Є®®а¤Ё в ўлЎа ® ў в®зЄҐ $\dfrac{a+b}2$. ’Ґ¬ б ¬л¬ Ўг¤Ґ¬
®жҐЁў вм Єў ¤а вгаго д®а¬г«г
$$\int_{-h}^hf(x)\,dx\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h)).\tag6.1$$
ЏаҐ¦¤Ґ ўбҐЈ® ®в¬ҐвЁ¬, зв® д®а¬г« ‘Ё¬Їб® в®з Ґ в®«мЄ® ¬®Ј®з«Ґ е
ўв®а®© б⥯ҐЁ, Є Є б«Ґ¤гҐв Ё§ § ¬Ґз Ёп ў Ї.\ 3, ® Ё ¬®Ј®з«Ґ е ваҐв쥩
б⥯ҐЁ. „«п в®Ј®, зв®Ўл гЎҐ¤Ёвмбп ў н⮬, ¤®бв в®з® Їа®ўҐаЁвм, зв® д®а¬г«
\thetag{6.1} в®з ¤«п $f(x)=x^3$.
Џгбвм $c$ --- Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ Ё§ ЁвҐаў « $(0,h)$. ђ бᬮваЁ¬
ЁвҐаЇ®«пжЁ®л© ¬®Ј®з«Ґ ‹ Ја ¦ $L_3(x)$, ЁвҐаЇ®«ЁагойЁ© дгЄжЁо $f(x)$
ў в®зЄ е $-h$, $0$, $c$ Ё $h$. €¬ҐҐ¬
$$\int_{-h}^hL_3(x)\,dx=\frac h3(L_3(-h)+4L_3(0)+L_3(h))=\frac h3(f(-h)+4f(0)
+f(h)).$$
Џ®н⮬㠤«п Ї®ЈаҐи®бвЁ д®а¬г«л ‘Ё¬Їб® , Є®в®аго ¬л ®Ў®§ зЁ¬ зҐаҐ§ $R$,
Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
$$\multline\quad R=\biggl|\int_{-h}^hf(x)\,dx-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))
\biggr|\\
=\biggl|\int_{-h}^hf(x)\,dx-\int_{-h}^hL_3(x)\,dx\biggr|=\biggl|\int_{-h}^h(f
(x)-L_3(x))\,dx\biggr|\\
\le\int_{-h}^h|f(x)-L_3(x)|\,dx.\quad\endmultline$$
Џ®«®¦Ё¬
$$M_4=\max_{x\in[-h,h]}|f^{(4)}(x)|.$$
’®Ј¤ ¤«п Ї®ЈаҐи®бвЁ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп дгЄжЁЁ $f(x)$ ¬®Ј®з«Ґ®¬ ‹ Ја ¦
бЇа ўҐ¤«Ёў б«Ґ¤гой п ®жҐЄ (б¬.\ [7, бва.\ 11])
$$|f(x)-L_3(x)|\le\frac{M_4}{4!}|(x+h)x(x-c)(x-h)|.$$
’Ґ¬ б ¬л¬ ¤«п «оЎ®Ј® $c\in(0,h)$
$$R\le\frac{M_4}{24}\int_{-h}^h|(x+h)x(x-c)(x-h)|\,dx.$$
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г ў н⮬ Ґа ўҐб⢥ ЇаЁ $c\to0$, Ї®«гз Ґ¬
$$R\le\frac{M_4}{24}\int_{-h}^hx^2(h^2-x^2)\,dx=\frac{M_4}{24}\left.\left(h^2
\frac{x^3}3-\frac{x^5}5\right)\right|_{-h}^h=\frac{M_4}{90}h^5.\tag6.2$$
‚뢥¤Ґ¬ ⥯Ґам гб«®¦Ґго д®а¬г«г ‘Ё¬Їб® . ђ §¤Ґ«Ё¬ ®в१®Є $[a,b]$
зҐв®Ґ зЁб«® ®в१Є®ў $2n$
$$x_i=a+ih,\quad i=0,1,\dots,2n,\qquad h=\frac{b-a}{2n}.$$
Ќ Є ¦¤®¬ Ё§ ®в१Є®ў $[x_{2i},x_{2i+2}]$ ЇаЁ¬ҐЁ¬ д®а¬г«г ‘Ё¬Їб®
$$\int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}}f(x)\,dx\approx\frac h3(f_{2i}+4f_{2i+1}+f_{2i+2}).
$$
‘«®¦Ёў нвЁ а ўҐбвў , Ї®«гзЁ¬ гб«®¦Ґго д®а¬г«г ‘Ё¬Їб®
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac h3\biggl(f_0+f_{2n}+4\sum_{i=1}^nf_{2i-1}+2
\sum_{i=1}^{n-1}f_{2i}\biggr).$$
“зЁвлў п ®жҐЄг \thetag{6.2}, ¤«п Ї®ЈаҐи®бвЁ гб«®¦Ґ®© д®а¬г«л ‘Ё¬Їб® ,
Є®в®аго ¬л ®Ў®§ зЁ¬ зҐаҐ§ $R_s$, Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
$$R_s\le n\frac{M_4}{90}h^5=\frac{M_4}{180}(b-a)h^4,$$
Ј¤Ґ
$$M_4=\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.$$
Џ®бЄ®«мЄг $h=\dfrac{b-a}{2n}$, в® ®жҐЄ ўҐ«ЁзЁл $R_s$ ¬®¦Ґв Ўлвм ¤ зҐаҐ§
$n$
$$R_s\le\frac{M_4(b-a)^5}{2880n^4}.$$
\example{\ex6.1} ђ бᬮваҐвм ЇаЁ¬Ґа 5.1 ¤«п д®а¬г«л ‘Ё¬Їб® .
\endexample
\demo\so €¬ҐҐ¬ $f^{(4)}(x)=(12+48x^2+16x^4)e^{x^2}$. ’Ґ¬ б ¬л¬ $M_4=76e$. „«п
¤®бвЁ¦ҐЁп вॡ㥬®© в®з®бвЁ ¤®бв в®з® ўлЇ®«ҐЁп Ґа ўҐбвў
$$\frac{M_4}{2880n^4}\le10^{-5}.$$
Ћвбо¤
$$n\ge10\root4\of{\frac{19e}{72}}=9,2\dots\,\,.$$
ЏаЁ ЁбЇ®«м§®ў ЁЁ д®а¬г«л ‘Ё¬Їб® ®в१®Є а §ЎЁў Ґвбп $2n$ з б⥩.
Џ®н⮬㠤«п ўлзЁб«ҐЁп а бб¬ ваЁў Ґ¬®Ј® ЁвҐЈа « б § ¤ ®© в®з®бвмо
Ї®вॡгҐвбп 室Ёвм § 票п дгЄжЁЁ ў 21 в®зЄҐ ( Ї®¬Ё¬, зв® ў «®ЈЁз®¬
ЇаЁ¬ҐаҐ ¤«п д®а¬г«л ва ЇҐжЁ© ЇаЁ в®© ¦Ґ в®з®бвЁ вॡ®ў «Ёбм ўлзЁб«ҐЁп ў 370
в®зЄ е).
\enddemo
\head 7. ѓ« ў п з бвм Ї®ЈаҐи®бвЁ Єў ¤а вгале д®а¬г«\endhead
„«п гб«®¦Ґ®© д®а¬г«л Їаאַ㣮«мЁЄ®ў Ўл«® ¤®Є § ® б«Ґ¤го饥 а ўҐбвў®
$$\int_a^bf(x)\,dx=h\sum_{i=0}^{n-1}f_{i+1/2}+r_1,\tag7.1$$
Ј¤Ґ $h=\dfrac{b-a}n$,
$$|r_1|\le\frac{M_2}{24}(b-a)h^2.$$
Њл Ї®«гзЁ¬ Ў®«ҐҐ в®зго ®жҐЄг ў ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁЁ, зв® дгЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв
ҐЇаҐалўго зҐвўҐавго Їа®Ё§ў®¤го.
ђ бᬮваЁ¬ б з « б«гз ©, Є®Ј¤ $[a,b]=[-h/2,h/2]$. Џ® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а
$$f(x)=f_0+f'_0x+\frac{f_0''}{2!}x^2+\frac{f_0'''}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(\xi)}
{4!}x^4,\tag7.2$$
Ј¤Ґ $f^{(i)}_0=f^{(i)}(0)$, $i=0,1,2,3$, $\xi$ --- ҐЄ®в®а п в®зЄ Ё§
ЁвҐаў « $(-h/2,h/2)$. €вҐЈаЁагп \thetag{7.2}, Ї®«гз Ґ¬ а ўҐбвў®
$$\int_{-h/2}^{h/2}f(x)\,dx=f_0h+\frac{f_0''}{24}h^3+r_2,$$
ў Є®в®а®¬
$$r_2=\int_{-h/2}^{h/2}\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4\,dx.$$
„«п ўҐ«ЁзЁл $r_2$ бЇа ўҐ¤«Ёў б«Ґ¤гой п ®жҐЄ
$$|r_2|\le\frac{M_4}{4!}\int_{-h/2}^{h/2}x^4\,dx=\frac{M_4}{1920}h^5.$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¤«п гб«®¦Ґ®© д®а¬г«л Їаאַ㣮«мЁЄ®ў Ё¬ҐҐ¬
$$\int_a^bf(x)\,dx=h\sum_{i=0}^{n-1}f_{i+1/2}+\frac{h^3}{24}\sum_{i=0}^{n-1}f
''_{i+1/2}+r_3,\tag7.3$$
Ј¤Ґ
$$|r_3|\le n\frac{M_4}{1920}h^5=\frac{M_4}{1920}(b-a)h^4.$$
ЏаЁ¬Ґпп \thetag{7.1} ¤«п ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤®©, 室Ё¬
$$\int_a^bf''(x)\,dx=h\sum_{i=0}^{n-1}f''_{i+1/2}+r_4,$$
ЇаЁ н⮬
$$|r_4|\le\frac{M_4}{24}(b-a)h^2.$$
‘«Ґ¤®ў ⥫м®,
$$h\sum_{i=0}^{n-1}f''_{i+1/2}=\int_a^bf''(x)\,dx-r_4.$$
Џ®¤бв ў«пп нв® ўла ¦ҐЁҐ ў \thetag{7.3}, Ї®«гз Ґ¬
$$\int_a^bf(x)\,dx=h\sum_{i=0}^{n-1}f_{i+1/2}+\frac{h^2}{24}\int_a^bf''(x)\,d
x+r_5,$$
Ј¤Ґ
$$|r_5|=\Bigl|-\frac{h^2}{24}r_4+r_3\Bigr|\le\frac{M_4}{24^2}(b-a)h^4+\frac{M
_4}{1920}(b-a)h^4=\frac{13M_4}{5760}(b-a)h^4.$$
\definition\de ѓ®ў®апв, зв® $\varphi(h)=O(h^k)$ (зЁв Ґвбп ``® Ў®«м讥''),
Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв в Є п Ї®бв®п п $C>0$, ¤«п Є®в®а®©
$$|\varphi(h)|\le Ch^k.$$
\enddefinition
’Ґ¬ б ¬л¬ ¬л ¤®Є § «Ё а ўҐбвў®
$$\int_a^bf(x)\,dx=h\sum_{i=0}^{n-1}f_{i+1/2}+ch^2+O(h^4),\tag7.4$$
ў Є®в®а®¬
$$c=\frac1{24}\int_a^bf''(x)\,dx.$$
Џ®«®¦Ё¬
$$I=\int_a^bf(x)\,dx,\qquad I_h^r=h\sum_{i=0}^{n-1}f_{i+1/2}.$$
’®Ј¤ а ўҐбвў® \thetag{7.4} § ЇЁиҐвбп ў ўЁ¤Ґ
$$I=I_h^r+ch^2+O(h^4).$$
‚Ґ«ЁзЁ $ch^2$ §лў Ґвбп {\it Ј« ў®© з бвмо\/} Ї®ЈаҐи®бвЁ д®а¬г«л
Їаאַ㣮«мЁЄ®ў.
Ђ «®ЈЁзлҐ а ўҐбвў ¬®¦® Ї®«гзЁвм ¤«п д®а¬г« ва ЇҐжЁ© Ё ‘Ё¬Їб®
$$\align I&=I_h^t+c_1h^2+O(h^4),\\
I&=I_h^s+c_2h^4+O(h^6)\endalign$$
(ў Ї®б«Ґ¤Ґ¬ б«гз Ґ ¤® вॡ®ў вм, зв®Ўл дгЄжЁп $f(x)$ Ё¬Ґ« ҐЇаҐалўго
иҐбвго Їа®Ё§ў®¤го).
\head 8. Џа ўЁ«® ђгЈҐ Їа ЄвЁзҐбЄ®© ®жҐЄЁ Ї®ЈаҐи®бвЁ\endhead
Џгбвм $z$ --- ҐЁ§ўҐб⮥ в®з®Ґ § 票Ґ ҐЄ®в®а®© ўҐ«ЁзЁл, $z_h$ ---
Ё§ўҐб⮥ ҐҐ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ґ § 票Ґ, § ўЁбп饥 ®в Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ј® Ї а ¬Ґва
$h$, Є®в®ал© ¬®¦Ґв ЇаЁЁ¬ вм бЄ®«м гЈ®¤® ¬ «лҐ § 票п.
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® гбв ®ў«Ґ бўп§м ¬Ґ¦¤г в®зл¬ Ё ЇаЁЎ«Ё¦Ґл¬ § 票ﬨ
$$z=z_h+ch^k+O(h^{k+m}),\tag8.1$$
Ј¤Ґ $c$ --- ҐЁ§ўҐбв п Ґ § ўЁбпй п ®в $h$ Ї®бв®п п. ’®Ј¤
$$z=z_{h/2}+c\left(\frac h2\right)^k+O(h^{k+m}),\tag8.2$$
в Є Є Є ¤«п «оЎ®© Ї®бв®п®© $C$ \ $O((Ch)^n)=O(h^n)$.
‚лзЁв п Ё§ \thetag{8.1} а ўҐбвў® \thetag{8.2}, Ўг¤Ґ¬ Ё¬Ґвм
$$z_{h/2}-z_h=c\left(\frac h2\right)^k(2^k-1)+O(h^{k+m}).\tag8.3$$
Ћвбо¤
$$c\left(\frac h2\right)^k=\frac{z_{h/2}-z_h}{2^k-1}+O(h^{k+m}).$$
‘«Ґ¤®ў ⥫м®, ЇаЁ $c\ne0$ ўҐ«ЁзЁ $\dfrac{z_{h/2}-z_h}{2^k-1}$ ®в«Ёз Ґвбп
®в Ј« ў®Ј® з«Ґ Ї®ЈаҐи®бвЁ $z-z_{h/2}$ $O(h^{k+m})$, в.Ґ.
$$z-z_{h/2}=\frac{z_{h/2}-z_h}{2^k-1}+O(h^{k+m}). \tag8.4$$
’Ґ¬ б ¬л¬ ЇаЁ $c\ne0$ ®жҐЁвм Ї®ЈаҐи®бвм ¬®¦® в Є:
$$z-z_{h/2}\approx\frac{z_{h/2}-z_h}{2^k-1}.$$
’ Є®© бЇ®б®Ў ®жҐЄЁ Ї®ЈаҐи®бвЁ §лў Ґвбп {\it Їа ўЁ«®¬ ђгЈҐ}.
\remark\re Ќ Їа ЄвЁЄҐ бзЁв Ґвбп, зв® гб«®ўЁҐ $c\ne0$ ўлЇ®«Ґ®, Ґб«Ё
$$\left|2^k\frac{z_{h/2}-z_h}{z_h-z_{2h}}-1\right|<0,1.\tag8.5$$
’®«мЄ® ў н⮬ б«гз Ґ ४®¬Ґ¤гҐвбп ЇаЁ¬ҐҐЁҐ Їа ўЁ« ђгЈҐ
\endremark
Џ®пбЁ¬ гб«®ўЁҐ \thetag{8.5}. €§ \thetag{8.3} б«Ґ¤гҐв, зв®
$$\align z_{h/2}-z_h&=c\left(\frac h2\right)^k(2^k-1)+O(h^{k+m}),\\
z_h-z_{2h}&=ch^k(2^k-1)+O(h^{k+m}).\endalign$$
Џ®н⮬г
$$\frac{z_{h/2}-z_h}{z_h-z_{2h}}\approx\frac1{2^k}.$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
$$2^k\frac{z_{h/2}-z_h}{z_h-z_{2h}}\approx1.$$
\head 9. “в®зҐЁҐ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® аҐиҐЁп Ї® ђЁз а¤б®г \endhead
Џ®«®¦Ё¬
$$z_h^*=\frac{2^kz_{h/2}-z_h}{2^k-1}.$$
’®Ј¤ Ё§ \thetag{8.4} Ї®«гз Ґ¬
$$z=z_{h/2}+\frac{z_{h/2}-z_h}{2^k-1}+O(h^{k+m})=z_h^*+O(h^{k+m}).$$
ЏаЁ $c\ne0$ \ $z-z_{h/2}$ Ё¬ҐҐв $k$-л© Ї®а冷Є ¬ «®бвЁ, $z-z_h^*$ --- $(k+m
)$-л© Ї®а冷Є ¬ «®бвЁ, в.Ґ.\ $z_h^*$ --- Ў®«ҐҐ в®з®Ґ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁҐ. Ћ® ®бЁв
§ў ЁҐ {\it гв®зҐЁҐ Ї® ђЁз а¤б®г}.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё ўлзЁб«пҐвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґл© ЁвҐЈа « Ї® гб«®¦Ґл¬ д®а¬г« ¬
Їаאַ㣮«мЁЄ®ў Ё«Ё ва ЇҐжЁ©, в® $k=2$, Ё ¬л ¬®¦Ґ¬ ®жҐЁвм ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®
Ї®ЈаҐи®бвм Ї® Їа ўЁ«г ђгЈҐ
$$I-I_{h/2}\approx\frac{I_{h/2}-I_h}3.$$
Ља®¬Ґ в®Ј®, ¬®¦® ©вЁ гв®зҐЁҐ Ї® ђЁз а¤б®г
$$I_h^*=\frac{4I_{h/2}-I_h}3.$$
„«п д®а¬г«л ‘Ё¬Їб® $k=4$, Ё ЇаЁЎ«Ё¦Ґ п ®жҐЄ Ї®ЈаҐи®бвЁ Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$I-I^s_{h/2}\approx\frac{I_{h/2}^s-I_h^s}{15}.$$
„«п гв®зҐЁп Ї® ђЁз а¤б®г Ё¬ҐҐ¬
$${I_h^s}^*=\frac{16I_{h/2}^s-I_h^s}{15}.$$
\remark\re ”®а¬г«л ва ЇҐжЁ© Ё ‘Ё¬Їб® 㤮Ўл ⥬, зв® ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ ®в $h$ Є
$h/2$ ўбҐ ўлзЁб«ҐлҐ а ҐҐ § 票п дгЄжЁ© ЁбЇ®«м§говбп ў ®ў®©
Єў ¤а вга®© д®а¬г«Ґ.
\endremark
Џа ўЁ«® ђгЈҐ Ё гв®зҐЁҐ Ї® ђЁз а¤б®г ¬®¦® ЇаЁ¬Ґпвм Ё ¤«п ¤агЈЁе § ¤ з
ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® ўлзЁб«ҐЁп. ђ бᬮваЁ¬ ў Є зҐб⢥ ЇаЁ¬Ґа зЁб«Ґ®Ґ
¤ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ.
Џгбвм Ё§ўҐбвл § зҐЁп ҐЄ®в®а®© ¤®бв в®з® Ј« ¤Є®© дгЄжЁЁ $f(x)$ ў в®зЄ е
$x_i=x_0+ih$, $i=0,\pm1$. Џ®«®¦Ё¬ $f_i=f(x_i)$, $i=0,\pm1$. •®а®и® Ё§ўҐбв
д®а¬г« зЁб«Ґ®Ј® ¤ЁддҐаҐжЁа®ў Ёп (б¬., ЇаЁ¬Ґа, [7, бва.\ 26])
$$f_0''\approx\frac{f_1-2f_0+f_{-1}}{h^2}=f''_{0h}.$$
Ќ ©¤Ґ¬ Ј« ўго з бвм Ї®ЈаҐи®бвЁ ў н⮬ ¬Ґв®¤Ґ. Џ® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а Ё¬ҐҐ¬
$$f_{\pm1}=f_0\pm f_0'h+\frac{f_0''}{2!}h^2\pm\frac{f_0'''}{3!}h^3+\frac{f_0^
{(4)}}{4!}h^4\pm\frac{f_0^{(5)}}{5!}+\frac{f^{(6)}(\xi_{\pm1})}{6!}h^6,$$
Ј¤Ґ $f_0^{(i)}=f^{(i)}(0)$, $i=0,1,\dots,5$, $\xi_1\in(0,h)$, $\xi_{-1}\in(
-h,0)$.
Џ®«®¦Ё¬
$$r=-\frac{f^{(6)}(\xi_1)+f^{(6)}(\xi_{-1})}{6!}h^4.$$
’®Ј¤
$$f_1+f_{-1}=2f_0+f_0''h^2+\frac{f_0^{(4)}}{12}h^4-rh^2.$$
’Ґ¬ б ¬л¬
$$f_0''=\frac{f_1-2f_0+f_{-1}}{h^2}-\frac{f_0^{(4)}}{12}h^2+r.\tag9.1$$
Џ®бЄ®«мЄг
$$|r|\le\frac{2M_6}{6!}h^4,$$
в® а ўҐбвў® \thetag{9.1} ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ® ў ўЁ¤Ґ
$$f_0''=f''_{0h}+ch^2+O(h^4),$$
Ј¤Ґ $c=-f_0^{(4)}/12$. ‘«Ґ¤®ў ⥫м®, Ї® Їа ўЁ«г ђгЈҐ
$$f_0''-f''_{0,h/2}\approx\frac{f''_{0,h/2}-f''_{0h}}3,$$
¤«п гв®зҐЁп Ї® ђЁз а¤б®г бЇа ўҐ¤«Ёў® а ўҐбвў®
$${f''_{0h}}^*=\frac{4f''_{0,h/2}-f''_{0h}}3.$$
\head \endhead
\head \endhead
\topmatter
\title ‹ЁвҐа вга \endtitle
\endtopmatter
\frenchspacing
\roster
\item"1." Ѓ еў «®ў Ќ.‘. {\it —Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л}. Њ.: Ќ гЄ , 1973.
\item"2." Ѓ еў «®ў Ќ.‘., †Ё¤Є®ў Ќ.Џ., Љ®ЎҐ«мЄ®ў ѓ.Њ. {\it —Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л}.
Њ.: Ќ гЄ , 1987.
\item"3." ЃҐаҐ§Ё €.‘., †Ё¤Є®ў Ќ.Џ. {\it ЊҐв®¤л ўлзЁб«ҐЁ©}. Њ.: Ќ гЄ , 1966.
’.1; ”Ё§¬ вЈЁ§, 1962. ’.2.
\item"4." ‚®«Є®ў ….Ђ. {\it —Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л}. Њ.: Ќ гЄ , 1982.
\item"5." „Ґ¬Ё¤®ўЁз Ѓ.Џ., Њ а® €.Ђ. {\it Ћб®ўл ўлзЁб«ЁвҐ«м®© ¬ ⥬ вЁЄЁ}.
Њ.: Ќ гЄ , 1966.
\item"6." Љ «ЁвЄЁ Ќ.Ќ. {\it —Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л}. Њ.: Ќ гЄ , 1978.
\item"7." ЋбЁЇҐЄ® Љ.ћ. {\it ЂЇЇа®ЄбЁ¬ жЁп дгЄжЁ© ¬®Ј®з«Ґ ¬Ё Ё зЁб«Ґ®Ґ
¤ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ}: ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § Ёп Ї® Єгабг ``—Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л'';
ЊѓЂ’“. Њ., 1994.
\endroster
\newpage
\topmatter
\title ЋЈ« ў«ҐЁҐ\endtitle
\endtopmatter
\bigskip
\toc
\title ‚ўҐ¤ҐЁҐ\page{\rm3}\endtitle
\head 1. ”®а¬г« Їаאַ㣮«мЁЄ®ў\page{3}\endhead
\head 2. “б«®¦Ґ п д®а¬г« Їаאַ㣮«мЁЄ®ў\page{4}\endhead
\head 3. €бЇ®«м§®ў ЁҐ ЁвҐаЇ®«пжЁ®®Ј® ¬®Ј®з«Ґ ‹ Ја ¦ ¤«п Ї®бв஥Ёп
Єў ¤а вгале д®а¬г«\page{5}\endhead
\head 4. Љў ¤а вгалҐ д®а¬г«л Ќмов® --Љ®вҐб \page{7}\endhead
\head 5. ”®а¬г« ва ЇҐжЁ©\page{9}\endhead
\head 6. ”®а¬г« ‘Ё¬Їб® \page{10}\endhead
\head 7. ѓ« ў п з бвм Ї®ЈаҐи®бвЁ Єў ¤а вгале д®а¬г«\page{13}\endhead
\head 8. Џа ўЁ«® ђгЈҐ Їа ЄвЁзҐбЄ®© ®жҐЄЁ Ї®ЈаҐи®бвЁ\page{15}\endhead
\head 9. “в®зҐЁҐ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®Ј® аҐиҐЁп Ї® ђЁз а¤б®г\page{17}\endhead
\title ‹ЁвҐа вга \page{\rm19}\endtitle
\endtoc
\newpage
\footline={\hfil}
\
\vskip80truept
\head ЋбЁЇҐЄ® Љ®бв вЁ ћа쥢Ёз\endhead
\vskip60truept
\head Љў ¤а вгалҐ д®а¬г«л\endhead
\bigskip
\bigskip
\head ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § Ёп Ї® Єгабг ``—Ёб«ҐлҐ ¬Ґв®¤л''\endhead
\vskip300truept
\leftline{\bf ђҐ¤ Єв®а Њ. Ђ. ‘®Є®«®ў }
\vskip30truept
\line{Џ®¤Ї. ў ЇҐз вм \phantom{ 77.77.7777}\hfil ЋЎкҐ¬ \phantom {77} Ї.«.
\hfil ’Ёа ¦ 75 нЄ§.\hfil ‡ Є § N \phantom{7777}}
\vskip2truept
\hrule
\vskip2truept
\leftline{ђ®в ЇаЁв ЊѓЂ’“. ЃҐаЁЄ®ўбЄ п Ў., 14}
\enddocument
Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия