Задача 2.1 Ток в общей цепи задан мгновенным значением i. Параметры цепи при заданной частоте ω, R₀, R₁, R₂, ωL и 1/ωC заданы в таблице вариантов. Определить показания приборов, написать мгновенные значения напряжений U₁, U₂, U₃, построить векторную диаграмму напряжений.

1/ωC

R₁ ωL R₂

R₀

Дано: R₀ = 4 Ом, R₁ = 4 Ом, R₂ = 5 Ом,

ωL = 4 Ом, 1/ωC = 3 Ом,

i = 6∙sin (ωt + 45º) A.

Решение

Определим показания амперметра А₂:

I_m = 6 (A); I = I_m/√2 = 6 / √2 = 4,242 (A)

Определим показания ваттметра W₂: P₁ = I²∙R₁ = 18∙4 = 72 (Вт)

Определим показания ваттметра W₁: P = I²∙(R₀ + R₁ + R₂) = 18∙13 = 234 (Вт)

Определяем показания вольтметра V₂:

а) Z₂ = √R₂² + (1/ωC)² = √25 + 9 = 5,83 (Ом)

б) U₂ = I∙Z₂ = 4,242∙5,83 = 24,73 (B)

Определяем показания вольтметра V₃:

a) Z₃ = √(R₁ + R₂)² + (X_L – X_C)² = √81 + 1 = 9,055 (Ом)

б) U₃ = I∙Z₃ = 4,242∙9,055 = 38,4 (B)

Определяем показания вольтметра V₁:

а) Z₁ = √(R₀ + R₁ + R₂)² + (X_L – X_C)² = √169 + 1 = 13,038 (Ом)

б) U₁ = I∙Z₁ = 4,242∙13,038 = 55,3 (B)

Переведем значения напряжений в комплексную форму:

u₂ = U_2msin(ωt + φ_U2);

U_2m = U₂∙√2 = 24,73∙√2 = 35 (B)

φ₂ = φ_U2 – φ_i => φ_U2 = φ₂ + φ_i

φ₂ = arctg(-X_C/R₂) = arctg(-3/5) = -31º

φ_U2 = 45º - 31º = 14º

u₂ = 35sin(ωt + 14º)

u₃ = U_3msin(ωt + φ_U2);

U_3m = U₃∙√2 = 38,4∙√2 = 54,3 (B)

φ₃ = φ_U3 – φ_i => φ_U3 = φ₃ + φ_i

φ₃ = arctg((X_L – X_C) / (R₁ + R₂)) = arctg((4 – 3) / (4 + 5)) = 6,34º

φ_U3 = 45º + 6,34º = 51,34º

u₃ = 54,3sin(ωt + 51,34º)

u₁ = U_1msin(ωt + φ_U1);

U_1m = U₁∙√2 = 55,3∙√2 = 78,2 (B)

φ₁ = φ_U1 – φ_i => φ_U1 = φ₁ + φ_i

φ₁ = arctg((X_L – X_C) / (R₀ + R₁ + R₂)) = arctg((4 – 3) / (4 + 4 + 5)) = 4,4º

φ_U2 = 45º + 4,4º = 49,4º

u₁ = 78,2sin(ωt + 4,4º)

По найденным значениям построим векторную диаграмму напряжений.

Для этого определим напряжения на всех элементах цепи:

U_R0 = I∙R₀ = 4,242∙4 = 16,97 (B)

U_R1 = I∙R₁ = 4,242∙4 = 16,97 (B)

U_L1 = I∙X_L1 = 4,242∙4 = 16,97 (B)

U_R2 = I∙R₂ = 4,242∙5 = 21,21 (B)

U_C2 = I∙X_C2 = 4,242∙3 = 12,73 (B)

Задача 2.2 В цепь переменного тока с напряжением U включены параллельно 3 приемника активной энергии, мощности которых известны.

Составить расчетную схему цепи, определить токи приемников и ток в неразветвленной части цепи, а также коэффициент мощности всей установки, представить векторную диаграмму токов. Записать мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи, полагая начальную фазу напряжения сети равной нулю.

R₁ I₂

R₃

I₁ R₂

U I₃

L

C

Дано: U = 380 B;

P₁ = 1500 Вт cosφ₁ = 0,5 φ₁ > 0

P₂ = 800 Вт cosφ₂ = 0,9 φ₂ < 0

P₃ = 1600 Вт cosφ₃ = 1 φ₃ = 0

Решение :

Определим значение тока I₁:

P₁ = UI₁cos φ₁ => I₁ = P₁ / Ucos φ₁ = 1500 / (380∙0,5) = 7,89 (A)

Определим значение тока I₂:

P₂ = UI₂cos φ₂ => I₂ = P₂ / Ucos φ₂ = 800 / (380∙0,9) = 2,34 (A)

Определим значение тока I₃:

P₃ = UI₃cos φ₃ => I₃ = P₃ / Ucos φ₃ = 1600 / 380 = 4,21 (A)

Разложим токи ветвей на активную и реактивную составляющие:

I_1A = I₁cos φ₁ = 7,89∙0,5 = 3,945 (A)

I_1P = I₁sin φ₁ = 7,89∙0,86 = 6,83 (A)

I_2A = I₂cos φ₂ = 2,34∙0,9 = 2,1 (A)

I_2P = I₂sin φ₂ = 2,34∙0,43 = 1,02 (A)

I_3A = I₃cos φ₃ = 4,21∙1 = 4,21 (A)

I_3P = I₃sin φ₃ = 4,21∙0 = 0 (A)

Определим величину полного тока I:

I = √(I_1A + I_2A + I_3A)² + (I_1P – I_2P)² = √(3,945 + 2,1 + 4,21)² + (6,83 – 1,02)² = 11,78 (A)

Определяем угол сдвига фаз между U и I:

φ₀ = arctg ((I_1P – I_2P) / (I_1A + I_2A + I_3A)) = arctg ((6,83 – 1,02) / (3,945 + 2,1 + 4,21)) = 29,5º

Запишем значение тока I в комплексной форме:

I = I_m∙sin(ωt + ψ_i); I_m = I∙√2 = 11,78∙√2 = 16,66 (A)

φ₀ = ψ_U – ψ_i => ψ_i = ψ_U – φ₀ = 0 – 29,5º = – 29,5º

i = 16,66 sin (ωt – 29,5º)

Строим векторную диаграмму:

Задача 2.3 В схеме заданы напряжение U₂₃ и все параметры цепи.

Выполнить:

1) Определить действующие значения токов во всех ветвях и входного напряжения U;

2) Определить активную, реактивную и полную мощности цепи и проверить баланс мощностей;

3) Определить коэффициент мощности цепи;

4) Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов;

Задачу решить методом проводимостей.