4. Коэффициент поперечной деформации

Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают помимо продольных деформаций и поперечные.

Как показывает опыт, при растяжении бруска (рис. 8) длина его увеличивается на величину Δl, ширина же уменьшается на величину Δb=b—b₁.

относительная продольная деформация равна

Относительная поперечная деформация равна

При сжатии бруска продольной деформацией является укорочение, поперечной — удлинение. Опыты показывают, что для большинства материалов ε₁ в 3 - 4 раза меньше, чем ε.

Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации ε₁ к относительной продольной ε называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона μ:

Коэффициент поперечной деформации и,, так же как и модуль упругости Е, является характеристикой упругих свойств материала. Для материалов, упругие свойства которых одинаковы во всех направлениях, упругие постоянные Е и μ полностью характеризуют эти свойства. Такие материалы называются изотропными. С достаточной для целей практики точностью к ним могут быть отнесены сталь и другие металлы, большинство естественных камней, бетон, каучук, неслоистые пластмассы.

Наряду с материалами изотропными существуют и анизотропные материалы, т.е. такие, свойства которых в различных направлениях различны. К таким материалам относятся в первую очередь дерево, слоистые пластмассы, некоторые камни, ткани и другие. Одно значение Е и μ, не может охарактеризовать их упругие свойства, для них необходимо иметь ряд значений упругих характеристик в различных направлениях.

Для измерения числовой величины μ необходимо при растяжении или сжатии бруска измерять одновременно продольные и поперечные деформации. Обычно эти измерения производятся при растяжении образца, взятого в виде длинной и широкой пластинки (металлы), или при сжатии призматических образцов (камень).

Величины коэффициента поперечной деформации для различных материалов при деформировании их в пределах упругости даны в таблице 1.

Зная, можно вычислить изменение объема образца при растяжении или сжатии. Длина образца после деформации равна l·(1+ ε). Площадь после деформации равна F(1— εμ)². Объем после деформации равен

где V – первоначальний объем.

Так как ε до предела пропорциональности — малая величина, то квадратами ее пренебрегаем. Тогда объем V₁ равен

Относительное изменение объема равно

Если коэффициент поперечной деформации μ =0,5, то объем при деформации не меняется. Так как для большинства материалов μ <0,5, то растяжение сопровождается увеличением, а сжатие — уменьшением объема. Для резины μ ≈ 0,5, и объем ее при растяжении почти не меняется.

Практическое значение появления поперечных деформаций в связи с продольными чрезвычайно велико. Это значение в дальнейшем будет подробно освещено. Для иллюстрации принятых методов и полученных формул рассмотрим следующий пример.

К кронштейну ABC, состоящему из деревянного стержня АС и железной тяги АВ, подвешен в точке А груз Q= 4 Т (рис. 9). Сечение тяги АВ — круглое, стержня квадратное. Каковы должны быть диаметр d стержня АВ и стороны квадрата а (стержень АС), если допускаемые напряжения для дерева [σ_ ]=25 кГ/см², дли стали [σ₊]=900кГ/см², ([σ_ ] — допускаемое напряжение на сжатие, [σ₊] — на растяжение); найти вертикальное и горизонтальное перемещения точки А. Длина АС равна l₂ =1 м.

Усилия N₁ и N₂ в стержнях АВ и АС находим из условия равновесия шарнира А, к которому приложена известная сила Q и неизвестные усилия N₁ и N₂.

Построив треугольник равновесия для этих сил (рис. 10), получаем

Погребные площади сечений стержней АВ и АС равны

Диаметр тяги равен

сторона квадрата равна

Обе величины приняты с округлением — для стального стержня до целых мм, для деревянного до см.

Для определения перемещения f точки А разъединим в ней стержни и изобразим их новые длины BA_t и СА₂, увеличив и уменьшив старые на Δl₁=АА₁ и Δl₂=АА₂, не меняя пока направления стержней (рис. 11, а). Для того чтобы найти новое положение точки А, сведем вместе деформированные стержни, вращая их около точек В и С. Точки A₁ и А₂ будут перемещаться по дугам А₁А₃ и А₂А₃, которые по их малости могут быть приняты за прямые, перпендикулярные к BA± и СА₂- Тогда горизонтальное перемещение точки А будет равно