2.3 Преобразование непериодического сигнала в линейной цепи

Существует два основных метода решения подобных задач: спектральный и временной.

При решении задачи спектральным методом используют частотные характеристики входного сигнала и цепи. Спектральную плотность отклика можно найти по известным спектральной плотности воздействия и частотной характеристики цепи с помощью выражения

=  (5.7)

Если нужно найти временную функцию отклика s_ВЫХ(t), то можно вычислить либо обратное преобразование Фурье от S_ВЫХ()

(5.8)

,

либо использовать операторный аналог этого выражения

s_ВЫХ(t)=L^-1S(p)K(p), (5.9)

где L^-1 - символ обратного преобразования Лапласа,

S(p)-изображение воздействия

К(р)-операторный коэффициент передачи линейной цепи.

При решении задачи временным методом используют временные характеристики сигнала s(t) и цепи (либо импульсную характеристику g(t), либо переходную h(t)). При этом расчетное выражение может быть записано одним из следующих способов

(5.10)

(5.11)

3. Пример решения задачи

3.1 Определить спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса (рис.5.30). Построить амплитудный и фазовый спектры.

Решение.

Запишем функцию s(t):

s(t) явно отвечает условию абсолютной интегрируемости. Поэтому прямо используем (1)

(5.12)

Функция получилась чисто вещественной. Однако при определенных значениях аргумента она принимает отрицательные значения. •Это необходимо учесть при построении спектров амплитуд и фаз.

На тех участках оси абсцисс, где функция принимает отрицательные значения, мы будем рисовать . положительной, а будет равен нечетному числу . Спектры амплитуд и фаз одиночного прямоугольного импульса приведены на рис. 5.31.

Для проверки правильности решения можно восстановить временную функцию по полученному выражению спектральной плотности с помощью программы “Sintnsp1”, текст которой приводится ниже

Определенное отличие формы восстановленного сигнала от исходного выражается в том, что у восстановленного сигнала фронты имеют конечную длительность, а вершина не плоская. Это связано с тем, что восстановление сигнала проводилось по ограниченной полосе частот –ω_а÷ω_а^. Чем шире эта полоса частот, тем ближе восстановленный сигнал к идеальному, и тем меньше среднеквадратическая погрешность “δ”, характеризующая различие между идеальным и восстановленным сигналами.

3.2 Предположим, что рассмотренный сигнал подается на активный RC фильтр, параметры и характеристики которого даны ниже

3.3 Определить временную функцию отклика, построить графики амплитудного спектра отклика и его временной функции можно с помощью выражения (5). Функции , уже известны. Достаточно подставить их в (5.5) и с помощью Mathcad рассчитать значения y(t) и построить ее график.

Все параметры функций , должны быть заранее заданы. Внесите необходимые изменения в расположенный ниже пример. Будьте при этом внимательны и аккуратны. После завершения расчетов вы получите графики амплитудного спектра выходного сигнала и его временной функции.

Текст программы «Sintnsp1»