Лекция 10. Дифракция волн

Принцип Гюйгенса-Френеля. Основные законы оптики были открыты к середине XVI века. К концу XVI столетия сформировались две точки зрения на природу оптических явлений:

1. корпускулярная, в рамках которой свет рассматривался как поток частиц (корпускул);

2. волновая. Успешное объяснение интерференции света явилось убедительным доказательством его волновой природы. Однако для окончательной победы волновых представлений необходимо было объяснить закон прямолинейного распространения света. Объяснения, а также указание пределов применимости этого закона было успешно выполнено на основе системы постулатов, известных как принцип Гюйгенса-Френеля. Система содержит два постулата.

1. П остулат Гюйгенса: каждая точка фронта волны является источником вторичных волн. Волновой фронт в данный момент представляет собой огибающую вторичных волн, излученных точками волнового фронта в предшествующий момент времени (рис. 10.1).

2. Постулат Френеля: вторичные волны интерферируют в точках вне области пространства, заключенного внутри первичного волнового фронта.

Вклад участков волнового фронта в результирующую волну уменьшается с ростом угла между нормалью к волновому фронту и направлением на точку наблюдения (рис. 10.1).

Рис. 10.1

С развитием теории света принцип Гюйгенса-Френеля уточнялся и в видоизмененном виде был выведен из уравнений Максвелла. Но и в своей первоначальной формулировке он способен объяснить широкий класс явлений, происходящих с волнами различной природы.

Поведение волн на границе раздела двух сред.

Рис 10.2.

Постулат Гюйгенса позволяет описать поведение волн на границе раздела сред со скоростями распространения и плотностями . В этом случае имеются три волны: падающая , преломленная и отраженная , обладающие различными направлениями скоростей (рис. 10.2).

В соответствии с законами геометрической оптики направления распространения этих волн (лучи), а также перпендикуляр к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости, называемой плоскостью падения. Как мы увидим далее это утверждение справедливо только для сред, в которых скорости распространения волн не зависят от направления. В таких средах волновые фронты вторичных волн представляют собой сферы. В оптике принято отсчитывать углы падения , отражения и преломления от перпендикуляра к границе раздела сред.

Р ассмотрим падение плоской волны на границу раздела под углом (рис. 10.3). В изотропной среде, угол падения также равен . Точка А волнового фронта является источником вторичных волн, распространяющихся во второй среде со скоростью . Следовательно, за время , за которое волна от точки В, находящейся на расстоянии , достигнет границы раздела, радиус фронта волны, испущенной точкой А, станет равным . Гипотенуза AC треугольника ADC равна . С другой стороны, из треугольника ABC получаем AC= . Приравнивая два выражения для гипотенузы, имеем

Рис. 10.3.

(9.1)

или

, (9.2)

где отношение скоростей называется относительным показателем преломления.

Проведя аналогичное построение для отраженной волны и учитывая, что отраженная волна распространяется в той же среде, что и падающая, легко получить, что . Законы отражения и преломления верны для волн любой природы если среды по обе стороны границы являются изотропными.

Можно показать, что при нормальном падении звуковой волны доля отраженной и прошедшей через границу энергии определяется только удельным акустическим импедансом (здесь а - проекция скорости на направление нормали) следующим образом

, (10.3)

где - интенсивности падающей, отраженной и прошедшей волн соответственно.

Из уравнений (10.3) видно, доля прошедшей энергии не зависит от того, с какой стороны волна падает на границу. На границе сред с сильно отличающимся , практически вся волна отражается и лишь малая часть энергии переходит через границу раздела. Так, через границу воздух - вода проходит менее 1% энергии. Через границу сталь-вода может быть передано до 14% энергии волны. Это свойство волн имеет важное значение для передающих и приемных акустических устройств. Аналогичные соотношения верны и для электромагнитных волн при замене плотности на оптическую плотность .

Зоны Френеля. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля, для вычисления интенсивности света необходимо суммировать вклад бесконечного числа точечных источников. Эта задача сводится к интегрированию по поверхности волнового фронта и осложняется необходимостью учета фазовых соотношений между складываемыми волнами. Часто с достаточной точностью эта задача может быть упрощена путем приближенного вычисления интеграла по методу прямоугольников. Волновой фронт разбивается на конечные зоны такой ширины, что разность хода от соседних зон до точки наблюдения отличается на половину длины волны. Такие участки волнового фронта называются зонами Френеля. Свет от соседних зон Френеля приходит в точку наблюдения в противофазе.

Рассмотрим прохождение плоской волн через круглое отверстие (рис 10.4). В этом случае зоны Френеля имеют вид концентрических колец. Вычислим их размеры. Для этого вначале определим внутренний радиус -той зоны Френеля.

Рис. 10.4.

Применим теорему Пифагора к треугольнику

. (10.4)

В оптическом диапазоне длина волны много меньше расстояния от волнового фронта до точки наблюдения. Поэтому членами второго порядка по можно пренебречь. С учетом этого приближения получим

. (10.5)

Площадь участка волнового фронта, содержащего зону Френеля есть

. (10.6)

Площадь -той зоны Френеля равна разности

(10.7)

и не зависит от номера зоны.

Применение принципа Гюйгенса-Френеля позволяет рассчитать интенсивность света в случае, если часть волнового фронта не вносит вклада в результирующую волну вследствие поглощения вторичных волн препятствием. В частности, интенсивность отлична от нуля и в области геометрической тени. Явление огибания препятствий волнами называется дифракцией. Различают два вида дифракции

1. Дифракция Френеля. Вторичные лучи распространяются свободно, без взаимодействия с оптической системой.

2. Дифракция Фраунгофера. В этом случае дифракционная картина образуется за счет интерференции параллельных лучей. Этот вид дифракции можно получить двумя способами. Во – первых, параллельные пучки вторичные лучей собираются оптической системой (например линзой) в разных точках экрана. Во – вторых, практически параллельные лучи интерферируют на расстояниях от препятствий значительно превышающих их размеры. Дифракция Фраунгофера чаще встречается в практике и этот вид дифракции мы рассмотрим подробно.

Дифракция Фраунгофера на щели. Пусть препятствие имеет вид бесконечной непрозрачной пластины, в котором прорезана бесконечно длинная прямоугольная щель шириной (рис. 10.5). Практически достаточно, чтобы ширина щели была много больше ее длины. На рис. 10.5 длинная сторона щели перпендикулярна плоскости чертежа. На щель падает плоская волна, фронт которой параллелен плоскости щели. В фокальной плоскости собирающей линзы , расположен экран. Как известно, в точки фокальной плоскости собираются параллельные пучки лучей. Следует иметь в виду, что хотя геометрические пути лучей, проходящих через разные участки линзы различны, их оптические пути одинаковы. Поэтому разность хода интерферирующих лучей возникает только на участке от щели до линзы.

Разобьем поверхность щели на бесконечно узкие параллельные полоски равной ширины . Начало системы координат совместим с левой границей щели. Будем считать, что амплитуда и фаза вторичных волн постоянна по всей ширине щели. Это предположение справедливо если ширина щели много больше длины волны. Для параллельные лучей углы между нормалью к волновому фронту и направлением на точку наблюдения одинаковы. Поэтому равны и амплитуды волн, приходящих от каждой такой полосы в точку наблюдения. Фаза волны линейно зависит от координаты полоски. Эти обстоятельства позволяет вычислить интенсивность света в любой точке экрана точно без использования приближения зон Френеля.

Рис. 10.5.

Амплитуда волны, приходящей в точку экрана от любой полоски пропорциональна ее ширине, напряженности и обратно пропорциональна ширине щели:

. (10.8)

Из рис. (9.4) видно, что разность хода между волной, испускаемой точкой , и произвольной точкой щели равна

. (10.9)

Здесь - угол дифракции, то есть угол между первоначальным лучом и лучами, собирающимися в точке наблюдения. Поэтому напряженность электрического поля волны, посылаемой произвольной полоской равна

. (10.10)

Здесь введено обозначение

. (10.11)

В соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле выразится интегралом по ширине щели

. (10.12)

Используя тригонометрическое соотношение

, (10.13)

получим

. (10.14)

Таким образом, амплитуда волны в точке равна.

. (10.15)

Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату напряженности

. (10.16)

График зависимости амплитуды интенсивности от угла дифракции приведен на рис. 10.6. Из уравнения (10.16) видно, что интенсивность света обращается в нуль при выполнении условия

, (10.17)

откуда получаем

. (10.18)

Рис10.6.

Главный максимум интенсивности, вне зависимости от длины волны, наблюдается при и, следовательно, при . Высота остальных максимумов быстро уменьшается с ростом их номера. В большинстве случаев влиянием этих максимумов на дифракционную картину можно пренебречь. Таким образом ширина дифракционной картины равна расстоянию между двумя минимумами с и определяется параметром . При увеличении ширины щели центральный максимум становится резче. Поэтому при становится оправданным приближение прямолинейного распространения света.