4. Механический смысл производной

Производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Производная от скорости по времени есть ускорение.

4.1) Тело движется прямолинейно, координата его точки в зависимости от времени изменяется по закону . Укажите закон, по которому изменяется скорость тела.

4.2) Материальная точка движется прямолинейно по закону . Определите скорость материальной точки через три секунды после начала движения (x измеряется в метрах).

4.3) Тело перемещается прямолинейно. Закон изменения расстояния, пройденного телом, от времени имеет вид (s – перемещение в м, t – время в с). Через сколько секунд после начала движения скорость тела станет равной 192 м/с?

4.4) Точка движется по прямой согласно закону , где  – координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с (x измеряется в метрах, t – в секундах)?

4.5) Материальная точка движется прямолинейно по закону . Определите, через сколько секунд после начала движения материальная точка остановится (расстояние измеряется в метрах, время – в секундах).

4.6) Тело движется прямолинейно, координата его точки в зависимости от времени изменяется по закону . Укажите закон, по которому изменяется скорость тела.

4.7) Материальная точка движется прямолинейно по закону . Определите ее скорость через две секунды после начала движения (расстояние измеряется в метрах, время – в секундах).

4.8) Материальная точка движется прямолинейно по закону . Определите ее скорость в момент времени (расстояние измеряется в метрах, время в секундах).

4.9) Тело перемещается по закону . Через сколько секунд после начала движения скорость тела станет равной 3 м/с (расстояние измеряется в метрах, время в секундах)?

4.10) Материальная точка движется по закону . Найдите скорость точки через одну секунду после начала движения (расстояние измеряется в метрах, время в секундах).

4.11) Материальная точка движется по закону . Определите скорость точки через одну секунду после начала движения (расстояние измеряется в метрах, время в секундах).

4.12) Тело движется прямолинейно, координата его точки в зависимости от времени изменяется по закону . Укажите закон, по которому изменяется скорость тела.

4.13) Тело движется прямолинейно, координата его точки в зависимости от времени изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения скорость тела станет равной 225 м/с?

4.14) Материальная точка движется по закону . Определите, через сколько секунд после начала движения материальная точка остановится (расстояние измеряется в метрах, время в секундах).

4.15) Материальная точка движется по закону . Определите скорость точки через две секунды после начала движения (расстояние измеряется в метрах, время – в секундах).

4.16) Материальная точка движется прямолинейно по зако­ну . Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент вре­мени t. (Переме­щение измеряется в метрах.)

4.17) Материальная точка движется прямолинейно по зако­ну . Найдите скорость в момент t = 2 с. (Переме­щение измеряется в метрах.)

4.18) Материальная точка движется прямолинейно по зако­ну . (Переме­щение измеряется в метрах.) Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

4.19) Материальная точка движется прямолинейно по зако- ну . Найдите скорость в момент t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

4.20) Материальная точка движется прямолинейно по зако-ну . Найдите ускорение в момент t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

4.21) Вращение тела вокруг оси совершается по закону

. Найдите угловую скорость в

произвольный момент времени t. ( — угол в радианах, — скорость в радианах в секунду, t — время в секундах.)

4.22) Вращение тела вокруг оси совершается по закону

. Найдите угловую скорость при t = 4c. ( — угол в радианах, — скорость в радианах в секун-

ду, t — время в секундах.)

4.23) Маховик, задерживаемый тормозом, за время t пово-

рачивается на угол . Найдите угловую скорость вращения маховика в момент времени t = 2 с. ( — угол в радианах, t — время в се­кундах.)

4.24) Маховик, задерживаемый тормозом, за время t пово-

рачивается на угол . Найдите такой момент времени, когда маховик остановится. ( — угол в радианах, t — время в се­кундах.)

4.25) Точка движется прямолинейно по закону

== . Найдите ускорение в момент времени t. ( — перемещение в сан­тиметрах, t — время в секундах.)

4.26) Точка движется прямолинейно по закону

== . В какой момент времени ускорение будет рав­но ? ( — перемещение в сан­тиметрах, t — время в секундах.)

4.27) Точка движется прямолинейно по закону

== . В какой момент времени ускорение будет рав­но ? ( — перемещение в сан­тиметрах, t — время в секундах.)

4.28) Точка движется прямолинейно по закону

+ (время измеряется в секундах, координата -

в метрах). Найдите момент времени t, когда уско­рение точки равно нулю.

4.29) Точка движется прямолинейно по закону

+ (время измеряется в секундах, координата - в метрах). Найдите скорость движения точки в момент t = 6 с.

4.30) Найдите силу F, действующую на материальную точ­ку с массой т, движущуюся прямолинейно по закону при t = 2 с.

4.30) Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону

. Координата х измеряется в сантимет­рах, время t — в секундах. Найдите действующую силу.

4.31) Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону

. Координата х измеряется в сантимет­рах, время t — в секундах. Найдите кинетическую энергию Е тела через 2 с после начала движения.

4.32) Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстояние , масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле . Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка АВ.

4.33) Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстояние , масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле . Найдите линейную плотность стержня в конце В стержня.

.

4.34) По прямой движутся две материальные точки по зако­нам и . В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости вто­рой точки?

4.35) Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела: первое — равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону . С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t — в секундах.)

_Ответы

1		19	35 м/с
2		20	22 м/с^2.
3	4	21	(6 t — 4) рад/с
4		22	20 рад/с
5	2	23	2,8 рад/с
6		24	2/3 с
7		25	12 t см/с^2
8	0,2	26	с
9	4	27	с
10	1,5	28	6 с
11	15	29	18 м/с
12		30	22 т
13		31	0,04 Н
14		32	0,0025 Дж
15	24	33	65 г/см .
16		34	125 г/см
17	9 м/с	35
18	5 с		при