Лекція 5 . Механіка суцільних середовищ ( механіка рідин).

План

1. Основні поняття гідродинаміки. Нерозривність струменю.

2. Рівняння Бернуллі.

3. Витікання рідини з отвору.

4. Сили внутрішнього тертя.

5. Ламінарна та турбулентна течія.

6. Рух рідин в круглій трубі.

7. Рух тіл в рідинах та газах.

1. Основні поняття гідродинаміки. Нерозривність потоку.

Механіка суцільних середовищ розглядає речовину як неперервне середовище і поділяється на гідродинаміку, газову динаміку, теорію пружності, тощо.

Гідродинаміка розглядає рух рідин, які не стискаються, та їх взаємодію з твердими тілами. Особливістю методу Ейлера є вивчення руху не частинок рідини, а окремих точок простору, в яких визначається швидкість рідини.

Основні поняття:

Лінії струму – уявні лінії, в кожній точці яких дотична співпадає з вектором швидкості. Густина цих ліній пропорційна величині швидкості в цьому місці.

Якщо вигляд ліній струму не змінюється з часом, течію називають стаціонарною. При такій течії будь-яка частинка рідини проходить дану точку з однім й тим самим значенням швидкості.

Частина рідини, обмежена лініями струму, називається трубкою струму. Частинки рідини в своєму русі не перетинають стінок трубки струму.

У випадку рідини, що нестискається, кількість рідини між двома перпендикулярними то напряму швидкості перерізами залишається незмінним. Звідси випливає теорема про нерозривність струменю:

Об’єми рідини, що протікають за одиницю часу через кожен переріз мають бути однакові:

або

Об’ємною витратою рідини в трубці називають об’єм рідини, що проходить через поперечний переріз трубки за одиницю часу

Массовою витратою називають массу рідини, що проходить через поперечний переріз трубки за одиницю часу

- площа поперечного перерізу трубки;

ρ – густина рідини;

ν – швидкість рідини.

2. Рівняння Бернуллі.

Розглянемо ідеальну рідину, в якій відсутні сили внутрішнього тертя. При стаціонарній течії виділений об’єм за час Δt переміститься вздовж трубки струму, при чому ΔV₁ = ΔV₂ = ΔV

Приріст енергії в цьому випадку дорівнюватиме різниці енергій вказаних малих об’ємів

(1)

В ідеальній рідині цей приріст дорівнює роботі, яку здійснюють над цими об’ємами сили тиску. Вона відмінна від нуля тільки на перерізах S₁ та S₂ (2)

Порівняння виразів (1) та (2) приводить до рівняння6

Отже, в ідеальній рідині, що тече стаціонарно, вздовж будь-якої лінії струму виконується умова:

(3)

Вираз (3) називається рівнянням Бернуллі.

Для горизонтальної лінії струму рівняння приймає вигляд:

або

тобто тиск виявляється меншим в тих точках, в яких швидкість рідини більша.

Якщо S₁ =S₂ , v₁ =v₂ , то , звідки

різниця тисків дорівнює гідростатичному тиску стовпа рідини.

Якщо ,то в загальному випадку

отже різниця тисків у рухомих та нерухомих рідинах для перерізів, розміщених на однакових висотах відрізняється на величину

Отже, в рівнянні (3) маємо:

p – статичний тиск, вимірюється манометричними трубками з перерізом, паралельним течії;

- динамічний тиск, вимірюється манометричними трубками з перерізом, перпендикулярним течії;

Суму p+ називають повним тиском, або повним напором рідини і вимірюють за допомогою трубки Піто або трубки Прандтля, в якій суміщені трубка Піто та зонд.

3. Витікання рідини з отвору.

Застосуємо рівняння Бернуллі до рідини, що витікає з невеличкого отвору у відкритій посудині. Для цього розглянемо перерізи, один з яких співпадає з відкритою поверхнею, а другий – з отвором, розмірами якого знехтуємо. Тиски в обох перерізах дорівнюють атмосферному і тому рівні. Рухом вільної поверхні знехтуємо.

Тоді рівняння Бернуллі приймає вигляд:

v – швидкість витікання рідини з отвору.

Після скорочення на ρ та врахування , що h₁ –h₂ =h –висота відкритої поверхні рідини над отвором, отримаємо формулу Торрічеллі:

Внаслідок вибігання рідини з отвору змінюється імпульс посудини, яка відчуває дію сили , яка називається реакцією вибігаючого струменю . Ця сила вдвічі більша за тиск на тій самій глибині.

4. Сили внутрішнього тертя.

Всі реальні рідини та гази мають в’язкість або, як кажуть, внутрішнє тертя, яке проявляється в тому, що рух в рідині або газі припиняється після зникнення його причин. Це пояснюється взаємодією частинок рідини або шарів рідини. Дослідження швидкості частинок в різних шарах показує, що вона змінюється при переході від шару до шару в перпендикулярному напрямі згідно з лінійним законом під дією сили внутрішнього тертя

- коефіцієнт в’язкості або коефіцієнт внутрішнього тертя.

Він чисельно дорівнює силі тертя, що виникає в одиниці площі поверхні при одиничному градієнті швидкості.( при переході від шару до шару швидкість рідини змінюється на 2м/с). Коефіцієнт внутрішнього тертя залежить від природи і стану (наприклад, температури) рідини

Коефіцієнт в’язкості залежить від температури, при чому залежність для рідин та газів має різний характер: для рідин з підвищенням температури він значно зменшується, а у газів - зростає. Це пояснюється різним механізмом внутрішнього тертя для рідин та газів.