- •1. Погрешности измерений
- •Поскольку истинное значение Xи неизвестно, погрешность находят по приближенной формуле
- •2. Формы представления результатов измерений
- •3. Метрологические характеристики средств измерительной техники
- •4. Погрешности средств измерений
- •5. Погрешности измерительных преобразователей
- •6. Аддитивная, мультипликативная и нелинейная составляющие погрешности
- •7. Основная и дополнительные погрешности
- •8. Классы точности средств измерений
- •9. Статическая модель средства измерений
- •10. Суммирование погрешностей
- •11. Обработка прямых измерений
- •12. Обработка косвенных измерений
- •Вопросы по теме
- •Литература
1. Погрешности измерений
П о окончании измерения необходимо получить не только значение физической величины, но и оценить точность результата измерения. Количественной мерой точности служат характеристики погрешности результата измерений.
Абсолютной погрешностью результата измерения называется разность между результатом измерения X и истинным значением измеряемой величины Xи:
= X – Xи. (1)
Поскольку истинное значение Xи неизвестно, погрешность находят по приближенной формуле
Δ ≈ X – Xд, (2)
где Xд – действительное значение измеряемой величины, заведомо более точное, чем X.
Относительной погрешностью δ результата измерения называют отношение абсолютной погрешности Δ к значениям Xд или X, выраженное в долях или процентах:
, (3)
или
. (4)
В зависимости от источника возникновения погрешности результата измерения различают инструментальную Δи, методическую Δмет и субъективную Δсуб составляющие этой погрешности:
Δ = Δи + Δмет + Δсуб . (5)
Инструментальная погрешность обусловлена погрешностями применяемых средств измерений, методическая – несовершенством метода измерений, а субъективная – индивидуальными особенностями оператора. Пример методической погрешности (погрешности метода измерений): погрешность, вызванная изменением измеряемой физической величины при подключении средства измерений к объекту (погрешность от взаимодействия средства измерений с объектом). Пример субъективной погрешности: погрешность отсчитывания по шкале прибора.
Если в процессе измерения физической величины она не изменяется (статическое измерение), то имеет место статическая погрешность результата измерения. В противном случае возникает дополнительная составляющая погрешности, называемая динамической погрешностью результата измерения.
При многократном измерении не изменяющейся во времени физической величины результаты измерений изменяются, причем эти изменения в общем случае нельзя предсказать. Поэтому результат измерения X и погрешность результата измерения Δ следует считать случайными величинами. Математическое ожидание называют систематической погрешностью Δс:
Δс = . (6)
Тогда
Δ = Δс + , (7)
где - составляющая погрешности Δ, имеющая нулевое математическое ожидание; ее называют случайной (или центрированной) погрешностью.
Основными характеристиками погрешности Δ являются: функция распределения F(Δ), плотность вероятности f(Δ), математическое ожидание = Δс и среднеквадратическое отклонение σ(Δ) = σ.
2. Формы представления результатов измерений
В связи со случайностью погрешности Δ результат измерения можно представить в следующем виде:
x; Δ от Δн до Δв; P, (8)
где x – значение измеренной величины; Δн и Δв – соответственно нижняя и верхняя границы погрешности; P – вероятность того, что погрешность примет значение в пределах от Δн до Δв:
P = P[Δн < Δ < Δв]. (9)
Интервал [Δн ; Δв] называют доверительным интервалом, а P – доверительной вероятностью.
Обычно выбирают симметричный относительно нуля доверительный интервал, при котором
–Δн = Δв = Δг, (10)
где Δг – граничное значение погрешности. Тогда (1.9) можно представить в виде
P = P[|Δ| < Δг], (11)
а результат измерения – в более простом по сравнению с (8) виде:
x ± Δг, P. (12)
При этом задачу оценки точности результата измерения можно было бы сформулировать так: при заданном значении Δг необходимо найти P или при заданном значении P найти Δг. Очевидно, результат измерения тем точнее, чем меньше Δг при заданном P (или больше P при заданном значении Δг). В метрологии принято выбирать значения P из ряда: 0,95; 0,99; 1.
Если бы законы распределения погрешностей были известны, то доверительную вероятность можно было бы рассчитать по формулам:
(13)
Практически законы распределения погрешностей известны приближенно. Чаще всего их аппроксимируют нормальными законами распределения или законами равномерной плотности.
Недостаточной информацией о законах распределения погрешностей объясняется следующая рекомендация: значения Δн, Δв и Δг указываются не более, чем с двумя значащими цифрами, причем последняя значащая цифра должна быть того же порядка, что и последняя значащая цифра результата измерения x. Например,
U = 104,3 В; Δ от –1,2 до 1,5 В; P = 0,95.
Такая запись означает, что для выбранной модели закона распределения погрешностей истинное значение измеряемого напряжения находится в диапазоне от 102,8 до 105,5 В с вероятностью 0,95.
Если систематическая погрешность Δс известна, то целесообразно исключить ее из результата измерения, заменив результат измерения x на исправленное значение результата измерения xиспр:
xиспр = x – Δс = x + η, (14)
где η = –Δс – поправка. В отличие от x, исправленное значение xиспр не содержит систематической погрешности и для многих законов распределения погрешностей может быть существенно точнее.
Обычно известно не значение Δс, а диапазон возможных значений систематической погрешности:
Δсн <Δс< Δсв, (15)
где Δсн и Δсв – соответственно нижняя и верхняя границы систематической погрешности. В этом случае поправку рассчитывают по формуле:
(16)
Однако после введения такой поправки остаются неисключенные остатки систематической погрешности Δсни, причем
< Δсни < . (17)
При расчете погрешности исправленного результата измерения обычно считают Δсни случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке, заданном формулой (17).