§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть в системе координат заданы плоскости

, (1)

и

, (2)

соответственно имеющие нормальные векторы и .

Возможны случаи их взаимного расположения.

Случай 1.

. (3)

(3) – условие параллельности двух плоскостей.

При этом имеются две возможности:

а) (плоскости совпадают)

Тогда уравнения (1) и (2) эквивалентные (равносильны), любое из них получается из другого умножением на некоторое число, следовательно:

. (4)

б) (нет общих точек)

Тогда уравнения (1) и (2) не имеют общих решений, следовательно:

. (5)

Случай 2. Плоскости и пересекаются.

Векторы и неколлинеарны, условия (3) не выполняются.

В частности, плоскости и могут оказаться перпендикулярными, тогда , следовательно, и

. (6)

(6) – условие перпендикулярности двух плоскостей.

Замечание 1. Если в формулах (3), (4), (5) какой-либо из знаменателей равен нулю, то запись понимают условно, считая равным нулю и соответствующий числитель.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из определяемых им двугранных углов (точнее, его линейный угол).

Угол между двумя параллельными или совпадающими плоскостями считается равным нулю.

Теорема. Угол между плоскостями с уравнениями (1) и (2) вычисляется по формуле

. (7)

Доказательство.

Обозначим: , , где , .

Случай 1. , тогда: и (как углов с соответственно перпендикулярными сторонами).

Случай 2. , тогда: и .

В обоих случаях имеем:

.

Теорема доказана.

Замечание 2. Из формулы (7) при получается условие перпендикулярности плоскостей (6).

§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей

Определение 1. Множество всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей, а точка - центром этой связки.

Справедливо утверждение: для того, чтобы плоскость проходила через точку , необходимо и достаточно, чтобы ее уравнение могло быть записано в виде:

, (1)

где не все коэффициенты равны нулю.

При этом, оставляя неизменными и меняя , можно получить уравнение любой плоскости связки с центром . Поэтому уравнение (1) часто называют уравнением данной связки.

Определение 2. Множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую , называется пучком плоскостей, а прямая - осью пучка.

Пусть заданы уравнения каких-либо двух плоскостей пучка с осью :

, (2)

и

. (3)

Имеет место утверждение: для того, чтобы некоторая плоскость принадлежала этому пучку, необходимо и достаточно, чтобы она имела уравнение вида:

, (4)

где и - числа, одновременно не равные нулю .

Эти утверждения доказываются, как и для пучка прямых на плоскости.

Меняя и , можно получить уравнения любой из плоскостей данного пучка.

Например, при и получаем уравнение (2), а при и получаем уравнение (3).

Поэтому уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.

Если положить , , то уравнение (4) принимает более удобный вид:

.

Давая параметру в уравнении (5) различные значения, можно получать уравнения любых плоскостей пучка, кроме плоскости с уравнением (3).

Определение 3. Множество всех плоскостей, параллельных данной плоскости (а, следовательно, и попарно параллельных), называется пучком параллельных плоскостей.

Если в уравнении (1) связки плоскостей, зафиксировав коэффициенты _,изменять координаты точки , то будем получать уравнения различных плоскостей пучка параллельных плоскостей.