1.7. Отношения и их представление

Пусть задано некоторое множество объектов . Множество всех пар вида, гдеобразуют декартово произведение. Любое подмножестводекартова произведения называется бинарным отношением на множествеA. Отношения задаются в виде матрицы, в которой строки и столбцы соответствуют объектам изA. Если пара, то элемент, в противном случае - 0.

Рассмотрим основные типы наиболее распространенных бинарных отношений.

Рефлексивность. ОтношениеPрефлексивно, если пары,.

Антирефлексивность. ОтношениеPантирефлексивно, если парыдля всех.

Симметричность. ОтношениеPсимметрично, если одновременно выполняетсяи.

Асимметричность. ОтношениеPасимметрично, еслитолько тогда, когда.

Антисимметричность.Pантисимметрично, если изиследует, что.

Транзитивность.Pтранзитивно, если изиследует, что.

Связность (линейность). ОтношениеP связно, если для любыхивыполненоилиили эти условия выполнены одновременно.

Эквивалентность. ОтношениеPназывается эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Эквивалентность выражает неразличимость объектов из одного класса. Пусть. Еслии, то есть объектыине различаются, итакже не различаются, то матрица эквивалентности имеет вид:

Отношение можно также представить в виде графа. Тогда отношение эквивалентности можно представить в виде неориентированного графа (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Граф эквивалентности.

Толерантность. ОтношениеPназывается толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично. Толерантность выражает свойство похожести. Если,и, то матрица толерантности и граф выглядят как на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Отношение и граф толерантности.

Линейный порядок. ОтношениеPназывается линейным порядком, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно и связно. Для линейного порядка применяются также и другие названия: линейный квазипорядок, ранжирование. Данное отношение говорит о частичном упорядочении объектов изA, когда классы неразличимых объектов упорядочены. Если неразличимых объектов нет, то есть все классы эквивалентности одноэлементны, то отношениеPявляется антирефлексивным, а порядок или ранжирование называется строгим. Пусть,,и- классы эквивалентности. Следовательно,a₃ =a₄и классыA_iупорядочены, то естьA₁предшествуетA₂ и т.д. Тогда матрица линейного порядка имеет вид:

Граф линейного порядка является ориентированным (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Граф линейного порядка.

1.8. Основные проблемы измерений

Пусть объекты измерения образуют эмпирическое множество . Пусть на множестве паропределено отношение, например, в любой пареуказан более предпочтительный объект и тогда. Тогда множество объектовА_Eи отношениеР_Eобразуют эмпирическую систему с отношением предпочтения(предшествования).

В процессе измерения каждому объекту ставится в соответствие численная оценка его некоторого свойства. Измерение эмпирической системы с отношениемU_Eсостоит в определении соответствующей числовой системы с отношением. Числовую системуU_Zобразуют множество чисели отношениеP_Z, определенное на множестве.

Соответствие между U_E иU_Zустанавливается с помощью гомоморфного отображенияfэмпирической системы с отношениемU_Eв числовую систему с отношениемU_Z. Напомним, что отображениеfгомоморфно, если для всякой парывыполнено условие. Если в эмпирической системе с отношением,Р_Е- отношение предпочтения, то в числовой системе с отношением,Р_Z- отношение “меньше-равно”. Тогда шкалой называется тройка.

При измерении возникают следующие проблемы.

Во-первых, прежде, чем проводить измерение, следует убедиться, что существует некоторая шкала . Иными словами, надо убедиться, что существует числовая система с отношениемU_Z, в которую гомоморфно отображаетсяU_E. Эта проблема известна как проблема измеримости эмпирических систем.

Вторая проблема - проблема единственности - состоит в определении множества числовых систем, в которые отображается данная эмпирическая система. Все такие числовые системы переводятся друг в друга одним типом преобразования.

В-третьих, после того, как найдена числовая система, соответствующая эмпирической, над численными значениями могут производиться различные операции: сложения, сравнения и т.д. Третья проблема - проблема адекватности - состоит в том, что для каждой числовой системы определены свои допустимые операции, не искажающие смысл данных. Корректность тех или иных числовых операций определяется типом шкалы, в которой проведены измерения.