- •А.В. Федотов теория автоматического управления
- •Список сокращений
- •Основы теории автоматического управления Введение
- •Примеры систем автоматического управления Классический регулятор Уатта для паровой машины
- •Система регулирования скорости вращения двигателей
- •Автоматизированный электропривод
- •Система терморегулирования
- •Следящая система автоматического управления
- •Система автоматического регулирования уровня
- •Обобщённая структура автоматической системы
- •Принципы автоматического управления
- •Математическая модель автоматической системы
- •Пространство состояний системы автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Структурный метод описания сау
- •Обыкновенные линейные системы автоматического управления Понятие обыкновенной линейной системы
- •Линеаризация дифференциального уравнения системы
- •Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Пример исследования функционального элемента
- •Передаточная функция
- •Типовые воздействия
- •Гармоническая функция.
- •Временные характеристики системы автоматического управления
- •Частотная передаточная функция системы автоматического управления
- •Частотные характеристики системы автоматического управления
- •Типовые звенья
- •Безынерционное (усилительное) звено.
- •Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).
- •Колебательное звено.
- •Интегрирующее звено.
- •5. Дифференцирующее звено.
- •Неустойчивые звенья
- •Соединения структурных звеньев
- •Преобразования структурных схем
- •Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления
- •Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
- •Построение частотных характеристик системы
- •Устойчивость систем автоматического управления Понятие устойчивости
- •Условия устойчивости системы автоматического управления
- •Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы
- •Критерии устойчивости системы Общие сведения
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Применение критерия к логарифмическим характеристикам
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Построение области устойчивости системы методом d-разбиения
- •Структурная устойчивость систем
- •Качество системы автоматического управления Показатели качества
- •Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы
- •Вынужденная ошибка системы
- •Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения
- •Решение уравнения системы операционными методами
- •Численное решение дифференциального уравнения
- •Моделирование переходной характеристики
- •Косвенные методы анализа качества Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы
- •Интегральные оценки качества процесса
- •Оценка качества по частотным характеристикам Основы метода
- •Оценка качества системы по частотной характеристике
- •Оценка колебательности системы
- •Построение вещественной частотной характеристики
- •Оценка качества сау по логарифмическим характеристикам
- •Синтез системы автоматического управления Постановка задачи синтеза системы
- •Параметрический синтез системы
- •Структурный синтез системы Способы коррекции системы
- •Построение желаемой логарифмической характеристики системы
- •Синтез последовательного корректирующего звена
- •Синтез параллельного корректирующего звена
- •Другие методы синтеза систем автоматического управления
- •Реализация систем автоматического управления Промышленные регуляторы
- •Особенности реализации промышленных регуляторов
- •Настройка промышленных регуляторов
- •Управление по возмущению
- •Комбинированное управление
- •Многосвязные системы регулирования
- •Обеспечение автономности управления
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Содержание
Колебательное звено.
Колебательное структурное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка
.
Параметрами колебательного звена являются постоянные времени и , а также коэффициент усиления k.
Для нахождения выражения переходной характеристики звена необходимо решить приведенное уравнение при . Решение будет определяться корнями характеристического уравнения
или .
С учетом корней характеристического уравнения и начальных условий, получаем следующее решение дифференциального уравнения:
,
где и .
Вид переходной характеристики будет зависеть от соотношения вещественной и мнимой частей корней характеристического уравнения. При корни комплексные сопряжённые и переходная характеристика имеет характер затухающих колебаний. Частота колебаний определяется мнимой частью корня , а скорость затухания – вещественной частью корня α.
Если , то получаются два вещественных корня характеристического уравнения. При этом колебательность процесса исчезает и колебательное звено ведёт себя как последовательное соединение двух инерционных звеньев. В этом случае колебательное звено вырождается в двойное апериодическое звено.
П ри получаются чисто мнимые корни характеристического уравнения и колебательный процесс на выходе звена перестаёт затухать. Колебательное звено превращается в консервативное звено с незатухающими колебаниями постоянной амплитуды на выходе. Вид переходных характеристик для трёх рассмотренных случаев показан на рис. 46.
Колебательная затухающая характеристика 1 соответствует комплексным корням характеристического уравнения, апериодическая характеристика 2 – вещественным корням характеристического уравнения, незатухающие колебания 3 – мнимым корням характеристического уравнения.
Поскольку соотношение существенно влияет на свойства колебательного звена, то для этого звена вводят параметр , называемый коэффициентом относительного затухания (степенью успокоения). Чем меньше коэффициент затухания, тем сильнее выражен колебательный процесс и тем дольше он затухает. С учётом коэффициента относительного затухания дифференциальное уравнение звена записывают несколько иначе:
.
По виду переходной характеристики колебательного звена, снятой экспериментально, можно установить его параметры. Определение параметров показано на рис. 47, при этом используются следующие зависимости:
,
Для определения передаточной функции колебательного звена запишем его дифференциальное уравнение в операторном виде
,
отсюда выражение для передаточной функции
.
Частотная передаточная функция колебательного звена определяется через передаточную функцию
Модуль частотной передаточной функции и её аргумент:
, .
При увеличении частоты модуль стремится к нулю, а фазовый угол – к -180°. На частоте фазовый угол равен -90°. Общий вид АФЧХ колебательного звена приведен на рис. 48.
П ри нулевой частоте точка характеристики лежит на положительном направлении оси вещественных чисел на удалении k от начала координат. С ростом частоты вначале модуль частотной характеристики увеличивается, а затем начинает уменьшаться и точка движется в начало координат.
Точка характеристики приходит в начало координат со стороны отрицательной полуоси вещественных чисел, поскольку максимальный фазовый угол равен -180° (–π). Положительная ветвь характеристики лежит под осью вещественных чисел, отрицательная – над осью вещественных чисел.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена
.
Для частот характеристика , для частот , т.е. близка к прямой с наклоном -40 дБ/дек. Таким образом, ЛАХ можно аппроксимировать двумя прямыми: горизонтальной для малых частот и наклонной (с наклоном -40 дБ/дек) для высоких частот. Эти два участка стыкуются на частоте сопряжения . Аппроксимированная ЛАХ называется асимптотической и отражает частотные свойства звена приближённо.
Фазовая частотная характеристика описывается выражением
О бщий вид логарифмических частотных характеристик колебательного звена показан на рис. 49. ЛАХ звена (кривая 1) имеет максимум, который тем выше, чем меньше коэффициент χ относительного затухания звена. Поэтому в области частот, прилегающих к частоте сопряжения, погрешность аппроксимации ЛАХ асимптотической характеристикой может быть велика. Наличие максимума ЛАХ говорит о резонансных свойствах колебательного звена.
Если колебательное звено вырождается в двойное апериодическое, то ЛАХ приобретает плавный характер (кривая 2) и резонансные свойства звена исчезают.
Фазовая характеристика располагается в пределах изменения фазового угла от нуля до -180°. Наибольшие изменения фазовая характеристика претерпевает в окрестностях частоты сопряжения. На частоте сопряжения фазовый угол составляет -90°. ЛФХ 1 соответствует звену с малым коэффициентом относительного затухания, ЛФХ 2 – двойному апериодическому звену. Чем меньше коэффициент относительного затухания колебательного звена, тем круче становится логарифмическая фазовая характеристика в окрестностях частоты сопряжения.