- •Лекція 1. Математичне моделювання в проектуванні і технології. Класифікація моделей.
- •1.1. Математичне моделювання виробничих об'єктів і процесів.
- •1.2.Структуризація математичних моделей
- •1.3. Структура і елементи моделі
- •1.4. Загальна класифікація сучасних моделей.
- •1.5. Глибина моделювання і вимоги до моделей.
- •2.1. Стаціонарні і нестаціонарні моделі.
- •2.2. Динамічні моделі
- •2.3. Лінійні і нелінійні моделі.
- •2.4. Моделі розподілені і зосереджені в просторі.
- •2.6. Моделі детерміновані і випадкові.
- •2.7. Інформаційні моделі.
- •2.8.Загальна характеристика двохполюсних моделей
- •2.9. Модель ідеального перемішування.
- •2.10. Модель ідеального витіснення.
- •2.11. Дифузійна модель.
- •2.12. Змішувальні, розділові і складні моделі.
- •2.13. З’єднання типових моделей.
- •Лекція 3. Експериментальні методи ідентифікації моделей. Оцінки зовнішніх впливів.
- •3.1.Основні етапи розробки моделей технологічних об'єктів.
- •3.2. Експериментальний підхід.
- •3.3. Ідентифікація статики і динаміки.
- •3.4. Активні і пасивні експерименти.
- •3.5. Параметри випадкових зовнішніх впливів
- •3.6. Помилки вимірювання. Закони розподілу.
- •3.7. Математичне очікування випадкової величини
- •3.8. Дисперсія випадкової величини
- •3.9. Оцінка зв'язаних зовнішніх впливів.
- •3.10. Оцінка тимчасових характеристик зовнішніх впливів.
- •3.11. Методи визначення інтервалу кореляції
- •3.12. Типові кореляційні функції.Спектри.
- •4.1.Особливості запису й обробки вимірювання вхідних впливів.
- •4.2. Статистична перевірка гіпотез.
- •4.3. Характеристики зовнішніх впливів.
- •4.5. Типи залежностей між змінними
- •4.6. Визначення коефіцієнтів кореляції вхідних і вихідних величин.
- •4.7. Лінійна регресія.
- •4.8.Метод найменших квадратів.
- •4.9. Рівняння лінійної регресії.
Лекція 1. Математичне моделювання в проектуванні і технології. Класифікація моделей.
Модель представляє об'єкт або систему у деякій формі, відмінної від форми їхнього реального існування. Вона служить засобом, що допомагає в поясненні, розумінні або удосконаленні системи. Модель якого-небудь об'єкта може бути точною копією цього об'єкта (хоча і виконаної з іншого матеріалу й в іншому масштабі), чи відображати деякі характерні властивості об'єкта в абстрактній формі.
Математичні моделі використовують при прогнозуванні поводження моделюючих об'єктів. На математичних моделях також виконують контрольовані експерименти в тих випадках, коли експериментування на реальних об'єктах практично неможливо через відсутність останніх, або виникаючої під час експериментів небезпеки (мережі енергопостачання, хімічні виробництва).
1.1. Математичне моделювання виробничих об'єктів і процесів.
Термін «математичне моделювання» охоплює методологічно мало зв'язані розробку моделі і її використання. Іноді моделюванням називається окремо кожний з цих двох етапів .
Вивчення властивостей об'єкта моделювання шляхом аналізу аналогічних властивостей його моделі являє собою процес моделювання. У залежності від характеру і складності тих чи інших явищ при їхньому вивченні можуть бути використані відповідні методи моделювання. Вибір методів визначається поставленою задачею.
Модель називається ізоморфною (однаковою за формою), якщо між нею і реальною системою спостерігається повна поелементна відповідність. Така відповідність є, наприклад, між негативом і отриманим з нього зображенням, кресленням і виготовленої по ньому деталлю, між процесами в реальній системі і рівнянням, що описує поводження цієї системи. Однак у багатьох випадках ізоморфні моделі виявляються складними і незручними для практичного використання, тому більш зручні моделі, що дозволяють судити тільки про істотні аспекти поводження реальних систем без їхньої деталізації. Приклад такої моделі — географічна карта по відношенню до зображеної на ній ділянки земної поверхні.
Моделі, окремі елементи яких відповідають лише великим частинам реальної системи, а повне поелементне співвідношення між моделлю і системою відсутнє, називаються гомоморфними.
Моделювання виробничого процесу складається в імітації виконання на елементах виробництва (устаткуванні, ділянках) операцій над продуктами (напівфабрикатами, заготівлями, сировиною і т.д.) шляхом зміни значень відповідних параметрів, що обчислюються. Значення деяких параметрів можуть бути функціями часу. Передача продукту від одного елемента до іншого моделюється передачею інформації про його параметри і зміну станів елементів.
Кожен елемент виробництва відображається окремою частиною математичної моделі, тобто загальна модель розбивається на блоки, що можуть збігатися з частковою математичною моделлю однієї з підсистем технічного об'єкта. Блоки зв'язані порівняно невеликим числом переданих параметрів. Звичайно технічний об'єкт розбивається на кінцеве число блоків, і кожний з них спочатку моделюється незалежно від інших.
Часткові моделі блоків потім зв'язуються на основі фактичної ієрархії технічного об'єкта. Декомпозиція і зв'язок блоків виконуються як у просторі, так і в часі, і цілком залежать від задачі розроблювача. Мірою якості отриманої таким чином моделі є в найбільш загальному випадку відсутність у ній внутрішніх протиріч і погодженість отриманих результатів з дійсністю, частину якої вони описують. При створенні основ такої моделі необхідно дотримувати наступного принципу: чим менше кількість елементів, за допомогою яких можна для рішення поставленої задачі описати дійсність, тим досконаліше модель. - . Формальне визначення моделі, як правило, будується теоретико-множинною мовою:
система називається математичною моделлю, якщо задане сімейство задач, , з множиною розв’язків ; для будь-якого елемента і , пара (х, у) належить системі S в тому і тільки в тому випадку, якщо існує елемент , що є розв’язком задачі .
Математичне моделювання включає наступні етапи:
- складання математичного опису процесу;
- створення алгоритму, що моделює досліджуваний процес;
- перевірка адекватності моделі досліджуваному процесу;
- використання моделі.
Складання математичного опису полягає у встановленні зв'язків між параметрами процесу і виявленні його граничних і початкових умов, а також у формалізації процесу у виді системи математичних співвідношень, що характеризують досліджуваний об'єкт (технологічний процес). Математичний опис складається на основі матеріальних і енергетичних балансів, а також фізичних законів, що визначають перехідні, чи які-небудь інші специфічні особливості процесу.
Для побудови математичних моделей технічних об'єктів використовуються фундаментальні закони фізики: збереження маси, енергії і т.д. Відповідно моделі записуються у виді звичайних диференціальних рівнянь, що відбивають матеріальний і тепловий баланси апаратів, зміни струму і напруги електричного кола і т.д. У систему математичного опису в загальному випадку можуть входити: алгебраїчні рівняння, звичайні диференціальні рівняння і рівняння в частинних похідних, емпіричні формули, логічні умови й ін. . -