8

Московский государственный университет путей сообщения рф (миит) Кафедра «Физика-2»

Институт, группа ИТТСУ, ВПЛ-111 К работе допущен __________________

(Дата, подпись преподавателя)

Студент Работа выполнена__________________

(Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель Пыканов. И. В. Отчёт принят_______________________­­­ (Дата, подпись преподавателя)

Отчёт по лабораторной работе № 29 изучение затухающих электромагнитных колебаний в колебательном контуре с помощью осциллографа

1. Цель работы:

Изучение с помощью электронного осциллографа электромагнитных колебаний, возникающих в колебательном контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление; изучение условий возникновения затухающих колебаний в контуре; расчет основных физических величин, характеризующих эти колебания.

2. П риборы и принадлежности: панель с колебательным контуром, магазин сопротивлений, электронный осциллограф, соединительные провода

Y – Осциллограф.

ЗП – Задняя панель осциллографа.

Rm – Магазин сопротивлений.

LC – Колебательный контур.

3. Основные теоретические положения к данной работе

В данной работе мы изучим работу электромагнитных колебаний, возникающих в колебательном контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление.

На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего последовательно соединённые конденсатор электроёмкостью C, катушку индуктивностью L и резистор с активным сопротивлением R.

Если в какой-либо момент времени одной из обкладок конденсатора сообщить электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке электродвижущей силы (э. д. с.) индукции, а затем отключить источники возбуждения, в контуре начнутся свободные электромагнитные колебания.

Исследуем характер колебаний, возникающих в идеализированном колебательном контуре в отсутствие сопротивления R  0 при сообщении конденсатору заряда q₀.

Вначале энергия электрического поля конденсатора емкостью C равна: W_C  q₀²/2C  CU₀²/2,

где U₀  q₀/С - максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора. Под действием электрического поля начинается движение зарядов и конденсатор разряжается. В контуре возникает электрический ток: I(t)  – dq(t)/dt, (1)

где dq(t) – изменение заряда на обкладках конденсатора. Знак минус показывает, что возникновение тока сопровождается уменьшением заряда на обкладках конденсатора (dq<0).

Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. Возрастание тока (dI > 0) в катушке индуктивностью L приводит к появлению в ней электродвижущей силы (э. д. с.) самоиндукции Et), препятствующей изменению тока (E < 0): E(t)  – L(dI/dt).

При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а ток в контуре, наоборот, достигает максимального значения I₀. Максимального значения достигает и энергия магнитного поля в катушке: W_L = LI₀²/2.

С этого момента начинается перезарядка конденсатора под действием э. д. с. самоиндукции. Ток в контуре начинает убывать, вследствие чего э. д. с. самоиндукции изменяет знак, препятствуя убыванию тока. Энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растет, стремясь к максимальному значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора. В тот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращаются в нуль. Далее процесс повторяется в обратном порядке. В контуре устанавливаются незатухающие электромагнитные колебания.

Если колебательный контур содержит активное сопротивление R, то при протекании по нему тока часть общей энергии контура W выделяется в виде тепла:

Q  W_R  I²Rt.

При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обкладках конденсатора. Колебания затухают.

Временная зависимость разности потенциалов на обкладках конденсатора U(t)  ₁ ₂ наблюдается в данной работе на экране осциллографа. Эту зависимость можно получить теоретическим путем, используя закон Ома для участка цепи, содержащей э.д.с. Для мгновенных значений токов и напряжений в таком контуре закон Ома запишется в виде:

I

T

R  ₁ – ₂  E  U – L(dI/dt). (2)

Преобразуем это уравнение, используя формулу (1) и соотношение q = CU. Тогда уравнение (2) примет вид:

LC(d²U/dt²)  RC(dU/dt)  U  0 (3)

Разделив обе части уравнения (3) на LC и введя обозначения R/2L  β, 1/LC  ₀²,

где ₀ называется собственной циклической (круговой) частотой контура, а  – коэффициентом затухания, получим дифференциальное уравнение:

d²U/dt²  2(dU/dt)  ₀²U  0, (4)

решение которого дает искомую зависимость U(t).

Уравнение (4) – линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В частном случае, когда < ₀, его решение имеет вид:

U(t)  U₀e^tcos(t  ₀), (5)

где ₀ – начальная фаза колебаний;  – циклическая частота затухающих колебаний:

   (6)

На рис. 2 приведены примеры графиков зависимости U(t) для различных типов колебаний в контуре.

Выражение (5) описывает затухающий колебательный процесс (рис. 2б) с периодом колебаний

T   . (7)

Амплитудой затухающих колебаний называют величину

A(t)  U₀e^t, (8)

где U₀ – максимально возможное значение амплитуды напряжения: U₀  A(t  0).

Как следует из формул (5) и (8), изменение амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания . Согласно (8) коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:

U₀/A()  e при t    1/.

Таким образом, характер колебательного процесса определяется соотношениями между электрическими параметрами контура R, L и C. Так, при   0 в контуре устанавливаются свободные незатухающие гармонические (колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса) колебания (рис. 2а): U(t)  U₀cos(₀t  ₀)

с периодом T₀  2/₀  2 (формула У.Томсона).

При критическом сопротивлении (см. формулы (6) и (7))

R  R_КР  2

  ₀ и период колебаний становится бесконечным. В контуре возникает апериодический процесс, когда напряжение на конденсаторе постепенно уменьшается, не совершая при этом колебаний (рис. 2в).

При R < R_КР (т. е. при  < ₀) в контуре реализуется затухающий колебательный процесс (рис. 2б).

При R > R_КР (  ₀) циклическая частота  и период колебаний Т становятся мнимыми величинами. Это соответствует апериодическому процессу разряда конденсатора на большое активное сопротивление (рис. 2г).

  ln  ln  T  T/  1/N, (9)

т.е. он равен величине, обратной числу колебаний (периодов), за которое амплитуда уменьшается в е раз (N  ).

Добротность контура Q – важный параметр, характеризующий быстроту потери энергии, запасенной в контуре. Добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе превышает амплитуду внешней прикладываемой электродвижущей силы, и определяется формулой: Q  ₀/2.

Для колебаний при малых  частота затухающих колебаний ω приблизительно равна собственной частоте колебаний ₀ (см. формулу (6)) и тогда, учитывая формулу (9), величина добротности:

Q  ₀/2 ≈ /2 = 2/2βT  /.

Для колебательного контура: R/2L, и ₀  1/ .

Добротность в этом случае:

Q  ₀/2   /R. (10)

Физическую величину   называют волновым или характеристическим сопротивлением колебательного контура.

Схема установки и способы возбуждения и наблюдения колебаний

Колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсаторов С₁ и C₂ катушек L₁ и L₂ , магазина сопротивлений R_М. Значения емкостей С₁ и C₂, индуктивностей L₁ и L₂ , а также величины активного сопротивления катушек R_L и других элементов цепи R_Ц указаны на панели контура. С помощью ключей К₁ и К₂ можно изменять величины емкости и индуктивности контура. Разделительный конденсатор C₀ в контур не входит и его электроемкость при расчетах не учитывается.

Для возбуждения колебаний в данной работе используется пилообразное напряжение генератора развертки луча осциллографа. Напряжение U снимается с выхода X-пластин, расположенного на задней панели (ЗП – рис. 3) осциллографа, и подается к клемме B колебательного контура, перераспределяясь между конденсаторами С₀, С₁ и С₂. Поскольку в схеме подобрано С₀ << С₁ и С₀ << С₂, то

U  U_С0  U_С1  U_С2  q/C₀  q/C₁  q/C₂  q/C₀  U_С0,

т. е. все напряжение падает почти полностью на конденсаторе С₀.

При линейном возрастании пилообразного напряжения развертки линейно возрастает напряжение на конденсаторе С₀: U_C0  at (рис. 4а, участок ab).

и, следовательно, на участке ab линейно возрастающего напряжения э. д. с. самоиндукции в катушках L₁, L₂ не возникает: Et)   L(dI/dt)  0.

В момент начала быстрого нелинейного спада пилообразного напряжения (участок bc) dU_C0/dt изменяется, т. е. и ток разрядки конденсатора С₀ непостоянен (I  const), а следовательно, в катушках L₁, L₂ возникает э. д. с.: Et)   L(dI/dt) ≠ 0,

к оторая и является источником энергии, вызывающим появление затухающих колебаний (например, напряжения U_С на конденсаторах С₁, и C₂ (рис. 4г). Возникающие в контуре затухающие колебания (рис. 4г) будут продолжаться и во время следующего периода нарастания напряжения развертки, смещающего луч по горизонтальной оси (X) экрана осциллографа. Их можно наблюдать на экране осциллографа при подаче напряжения U_С (клемма А контура) на вход Y осциллографа. Клемма «вход Y» расположена на передней панели осциллографа. Клемма Е («земля») контура соединяется с соответствующей клеммой осциллографа. Устойчивое изображение затухающих колебаний можно получить на экране осциллографа при правильном подборе частоты развертки, частоты синхронизации, усиления сигнала по вертикальной (Y) и горизонтальной (X) осям.

Порядок выполнения работы

1. Собираем схему установки в соответствии с рис. 3.

2. Подключим осциллограф к внешней сети и включим тумблер «сеть», дадим прогреться 2 – 3 мин и отрегулируем яркость и фокусировку луча. Переключатель «синхронизация» ставим в положение «внутр.», тумблер «делитель» на передней панели осциллографа в положение «до 5 В».

3. Устанавливаем на магазине сопротивлений R_М  0. С помощью ручек усиления и установки частоты развертки и синхронизации осциллографа получаем на экране устойчивое изображение затухающих колебаний.

Варьируя с помощью ключей К₁ и К₂ величины L и С контура, наблюдаем за изменением характера колебаний.