Массивы

Массивами (arrays) называют упорядоченные последовательности чисел, или элементов массива. Доступ к любому элементу массива возможен по его индексу, т.е. номеру в последовательности чисел.

В Mathcad условно можно выделить два типа массивов:

• Векторы (одноиндексные массивы), матрицы (двухиндексные) и тензоры (многоиндексные).

• Ранжированные переменные (range variables) – векторы, элементы которых определенным образом зависят от их индекса.

Нумерация индексов массивов начинается с величины, которая задается системной переменной ORIGIN, которая по умолчанию равна нулю.

Доступ ко всему массиву осуществляется поименованием векторной переменной. Над элементами массива можно совершать действия, как над обычными числами.

Чтобы получить доступ к элементу вектора

• Введите имя переменной вектора.

• Нажмите кнопку Subscript (Нижний индекс) со значком x_n на панели Matrix (Матрица) или введите символ <[>.

• В появившийся справа внизу от имени переменной местозаполнитель введите индекс.

Чтобы получить доступ к элементу многоиндексного массива

• Введите имя переменной массива.

• Перейдите к вводу нижнего индекса.

• Введите местозаполнитель индекса первый индекс, запятую, второй индекс и т.д.

Помимо доступа к отдельным элементам массива, имеется возможность совершать действия над его подмассивами (например, столбцами, образующими вектора). Делается это с помощью оператора со значком x^<> на панели Matrix (Матрица).

Ранжированные переменные в Mathcad являются разновидностью векторов и предназначены, главным образом, для создания циклов или итерационных вычислений. Простейший пример ранжированной переменной – это массив с числами, лежащими в некотором диапазоне с некоторым шагом.

Для создания ранжированной переменной с шагом 1 или -1

• Поместите курсор в нужное место документа.

• Введите имя переменной и оператор присваивания.

• Нажмите кнопку Range Variable (Ранжированная переменная) на панели Matrix (Матрица) или введите символ <;> с клавиатуры.

• В появившиеся местозаполнители введите левую и правую границы диапазона изменения ранжированной переменной.

Пример. x:=3..7 – ранжированная переменная x, представляющая массив 3,4,5,6,7, а y:=7..3 – ранжированная переменная y, представляющая массив 7,6,5,4,3.

Если шаг не равен ±1, используется другая форма задания a,b..c , где a – начальное значение, b=a+h , h – шаг, а c – конечное значение.

Пример. x:=1,3..7 – ранжированная переменная x, представляющая массив 1,3,5,7.

Большинство математических действий, реализованных в Mathcad, совершаются над ранжированными переменными точно так же, как над обычными числами. В этом случае одно и то же действие осуществляется параллельно над всеми элементами ранжированной переменной. Параллельные вычисления производятся точно так же и над произвольными векторами, не являющимися ранжированными переменными.

Чаще всего ранжированные переменные используются при параллельных вычислениях или для присвоения значений элементам других массивов. Определяя массив с помощью ранжированных переменных, позаботьтесь о том, чтобы их значения «пробегали» все необходимые индексы массива.

Существует несколько способов создания массива:

• Ввод всех элементов вручную с помощью команды Insert Matrix (Вставка матрицы).

• Определение отдельных элементов массива.

• Создание таблицы данных и ввод в нее чисел.

• Применение встроенных функций создания массива.

• Создание связи с другим приложением, например, Excel или MATLAB.

• Чтение из внешнего файла данных.

• Импорт из внешнего файла данных.

Самый простой способ создания массива заключается в определении любого количества его элементов. Это можно сделать

• Присваивая значения непосредственно отдельным элементам массива.

• Применяя ранжированные переменные.

Любой из этих способов позволяет присвоить нужное значение, как всем элементам массива, так и части из них, либо даже одному единственному элементу. В последнем случае создается массив, размерность которого задается индексами введенного элемента, а неопределенным элементам присваиваются нулевые значения.

В любом месте документа допускается как переопределение любого из элементов массива, так и изменение его размерности. Для этого достаточно просто присвоить любое значение новому элементу, индексы которого выходят за границы прежней размерности.

Самый наглядный способ создания вектора или матрицы заключается в следующем

• Нажмите кнопку Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели Matrix (Матрица), либо комбинацию клавиш Ctrl+<M> , либо выберите пункт меню Insert|Matrix (Вставка|Матрица).

• В диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) задайте целое число столбцов и строк матрицы, которую хотите создать. Для задания вектора нужно задать число столбцов 1.

• Нажмите кнопку OK или Insert (Вставить) – в результате в документ будет вставлена заготовка матрицы с заданным числом строк и столбцов.

• Введите значения в местозаполнители элементов матрицы.

Добавление в уже созданную матрицу строк или столбцов производится аналогично.

Элементами векторов и матриц могут быть

• Вещественные и комплексные числа.

• Функции с числовыми значениями аргументов.

• Совокупность чисел, функций и арифметических операторов их вычисления

В Mathcad имеется ряд функций и операторов для преобразования векторов и выполнения действий над его элементами.

Таблица 3.1.

Назначение функции (оператора)	Обозначение	Ввод
Транспонирование	V^T	<V>,Ctrl+<1>
Сортировка	VS	sort(V)
Обратная сортировка	VR	reverse(V)
Векторизация		<V>,Ctrl+<->
Норма вектора	|V|	<|>,<V>
Комплексно-сопряженный вектор		<V>,<”>
Число элементов вектора		length(V)
n-тый элемент вектора	Vn	<V>,<[>,<n>
Номер последнего элемента вектора		last(n)
Максимальный элемент	Vmax	max(V)
Минимальный элемент	Vmin	min(V)
Действительные части элементов	Re	Re(V)
Мнимые части элементов	Im	Im(V)

Большинство этих функций и операторов реализуется с помощью команд панели инструментов Matrix. Их дублирование возможно с клавиатуры путем нажатия соответствующих клавиш, указанных в таблице 3.1.

Транспонирование вектора возвращает исходный вектор, представленный в виде столбца, в вектор в виде строки и наоборот.

Операторы сортировки sort и reverse образуют из исходного вектора векторы, элементы которых расположены в порядке возрастания (sort) или убывания (reverse).

В екторизация означает возможность выполнения математических действий одновременно над всеми элементами векторов и обозначается стрелкой, которая располагается над выражением (например, )

Под нормой вектора a понимают модуль этого вектора, т.е. значение выражения , где a_i – i-й элемент вектора, n – число элементов вектора.

Таблица 3.2.Математические операции над векторами.

Математическое действие	Оператор	Ввод
Сложение вектора V с числом z	V+z	V+z
Вычитание из вектора V числа z	V-z	V-z
Умножение вектора V на число z	V*z	V*z
Деление вектора V на число z		V/z
Сложение векторов	V1+V2	V1+V2
Вычитание векторов	V1-V2	V1-V2
Скалярное произведение векторов	V1*V2	V1*V2
Векторное произведение векторов	V1xV2	<V1>, Ctrl+<*>, <V2>
Умножение элементов векторов		V1*V2, Ctrl+<->

Mathcad имеет большое число встроенных функций и операторов, позволяющих вычислять характеристики матрицы, выполнять различные ее преобразования, возвращать элементы, строки и столбцы матрицы.

Таблица 3.3.

Матричные операторы

Назначение оператора	Обозначение	Ввод
Транспонирование	M^T	<M>, Ctrl+<1>
Вычисление определителя	|M|	<|>,<M>
Обращение матрицы	M^-1	<M>,<^>,<->
Векторизация матрицы		<M>,Ctrl+<->
Комплексно-сопряженная матрица		<M>,<”>
n-тый столбец матрицы	M^<n>	<M>, Ctrl +<^>, <n>
Выделение элемента матрицы	Mm,n	<M>, <[>, <m>, <,>, <n>

Функции определения характеристик матрицы

Назначение функции определения характеристик	Обозначение	Ввод
Число столбцов		cols(M)
Число строк		rows(M)
Ранг матрицы		rank(M)
Сумма диагональных элементов (след)		tr(M)
Среднее значение массива элементов матрицы	|	mean(M)
Медиана массива элементов матрицы		median(M)

Матричные функции

Назначение функции	Ввод
Объединение двух матриц с одинаковым числом строк в одну	augment(Ml,M2)
Объединение двух матриц с одинаковым числом столбцов в одну	stack(M1,M2)
Создание единичной квадратной матрицы	identity(n)
Возвращение матрицы действительных чисел	Re(M)
Возвращение матрицы мнимых чисел	Im(M)

Mathcad позволяет выполнять математические операции над матрицами аналогично векторным.

Таблица 3.4. Математические операции над матрицами.

Математическое действие	Оператор	Ввод
Сложение матрицы M с числом z	M+z	M+z
Вычитание из матрицы M числа z	M-z	M-z
Умножение матрицы M на число z	M*z	M*z
Деление матрицы M на число z		M/z
Сложение матриц	M1+M2	M1+M2
Вычитание матриц	M1-M2	M1-M2
Умножение матриц	M1*M2	M1*M2
Возведение матрицы в степень n	M^n	<M>, <^>, <n>
Умножение элементов матриц	M1xM2

На практике массивы часто используются для вычисления суммы или произведения ряда чисел, которые могут быть заданы в виде функций. Если числа изменяются с постоянным шагом, удобно использовать ранжированные переменные, а если с переменным шагом – то вектора.

Пример 1.

Вычислить .

• Введем ранжированную переменную x:=1..100.

• Введем шаблон суммирования щелчком мыши на соответствующей кнопке панели инструментов Calculus или одновременным нажатием клавиш Shift+<4>.

• Заполним маркеры ввода.

• Получим решение нажатием клавиши < = >.

Пример 2.

Вычислить сумму чисел 3ln(5); cos(1)+sin(1); 7; 2*0.75²; 18

• Образуем вектор x по технологии, описанной ранее.

• Введем шаблон суммирования одновременным нажатием клавиш Ctrl+<4>.

• Заполним маркер ввода именем вектора.

• Получим решение нажатием клавиши < = >.

Mathcad позволяет вычислить сумму значений функции, заданной в аналитическом виде.

Пример 3.

Вычислить .

• Выведем шаблон суммирования щелчком мыши на соответствующей кнопке панели инструментов Calculus или одновременным нажатием клавиш Ctrl+Shift+<4>.

• Введем в пустые маркеры функции и диапазона значений аргумента суммирования.

• Нажмем кнопку символьных вычислений → на панели Symbolic.

• Получим ответ щелчком мыши вне выражения суммирования.

Произведение ряда чисел, так же как и суммирование, осуществляется с помощью шаблонов. При этом применяются два вида шаблонов – с двумя и четырьмя маркерами ввода.

Первый используется для вычисления произведения чисел с постоянным шагом, представленных в ранжированном виде. В этом случае шаблон произведения вводится нажатием клавиш Shift+<3>.

При определении произведения чисел, представляющих собой значения функции y=f(x) при заданных значениях аргумента x, используется шаблон произведения с четырьмя маркерами ввода. Соответствующий шаблон произведения вводится нажатием клавиш Ctrl+Shift+<3>.