Производная и интеграл от случайной функции

Введем понятие среднеквадратичной сходимости последовательности случайных функций X₁(t), …, X_n(t). Последовательность случайных функций X₁(t), …, X_n(t) сходится в среднеквадратичном к X(t), если

M[(X_n(t) – X(t))²] = 0.

Тогда X(t) – называется пределом в среднеквадратичном и вводится обозначение: X(t) = l.i.m. X_n(t), n → ∞.

Случайная функция X(t) дифференцируема в точке t если существует случайная функция (t) такая, что

M[(X(t + ∆t) – X(t))/∆t – (t)]² = 0,

или (t) = l.i.m. (X(t+ ∆t)–X(t))/∆t, ∆t→0.

Теорема 1. Пусть существует производная случайной функции X(t) в точке t. Тогда

m (t) =  m_x(t).

Доказательство. Имеем (t) l.i.m. (X(t+ ∆t)–X(t))/∆t, ∆t→∞.

Тогда M[ (t)] = M[ (X(t+∆t)–X(t))/∆t] = M[(X(t+∆t)– – X(t))/∆t] =  (m_x(t+∆t)– m_x(t)) /∆t =  m_x(t).

Здесь использовалось (без доказательства) следующее свойство математического ожидания:

M[ (X(t+∆t)] =  M[X(t+∆t)].

Теорема 2. Пусть существует производная случайной функции X(t) в точках t = t₁ и t = t₂.Тогда

 =  .

Доказательство. По определению имеем  = 

 = M[ ], где  =  ( ). Тогда по теореме 1 получим требуемое равенство

 =  M[ ] =  .

Пример. Пусть  = 2 t₁ t₂. Найдем .

По теореме 2 имеем  = 2.

Теорема 3. Пусть существует производная случайной функции X(t) в точках t = t₁ и t = t₂.Тогда

 =  ,  =  .

По определению взаимной корреляционной функции, с учетом теоремы 1 и определения корреляционной функции, имеем

 = M[ ] = M[ ( ) ] =

=  M[ ] =  .

Второе равенство в теореме 3 доказывается аналогично.

Интеграл от случайной функции и его характеристики

Интегралом от случайной функция X(t) по отрезку [0, T] называют следующую величину:

 =  , где  = T/N, t_i = i , i = 1, ..., N.

Здесь предполагается, что случайная функция X(t) имеет непрерывную траекторию на отрезке [0, T].

Теорема 1. Пусть Y(t) =  , t > 0.

Тогда m_y(t) =  , t > 0.

Доказательство. По определению интеграла

Y(t) =  , где  = T/N, s_i = i , i = 1, ..., N.

Тогда, согласно свойствам математического ожидания и определению интеграла от неслучайной функции, имеем

M[Y(t)] = M[ ] =  M[ ] =

=   =   =  .

Теорема 2. Пусть Y(t) =  , t > 0.

Тогда  =  ds ds .

Доказательство. По определению корреляционной функции

 = M[ ]. (16)

Найдем выражение для и подставим его в правую часть равенства (16). Из определения центрированной случайной функции (см. свойство 4 математического ожидания) и теоремы 1 имеем

 =  –M[ ] =  –  =  .

Тогда  =  .

Полученное выражение подставим в правую часть равенства (16), с учетом теоремы 1 и определения корреляционной функции, приходим к соотношениям:

 = M[ ] =

 =  M[ ]ds ds  =  ds ds .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется случайным процессом?

2. Привести основные характеристики случайных процессов. Сформулировать свойства этих характеристик.

3. Дать определение корреляционной функции. Сформулировать ее свойства.

4. Что такое нормированная и взаимная корреляционная функция?

5. Как определяются производная и интеграл от случайной функции?