2. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа .

Тригонометрична форма комплексного числа:

z=r( cos , де

r= .

Правило переходу від алгебраїчної форми комплексного числа до тригонометричної:

1⁰. Знаходять модуль комплексного числа r за формулою .

2⁰. Для знаходження спочатку визначають геометрично, в якій чверті знаходиться точка z.

76

2) 3А+2В , якщо А = , В = 3) 3А – 2В, якщо А = , В=

115. Знайти добуток матриць:

1) 2)

3) 4)

116. Обчислити :

С = А²+2В , де А= , В =

117. Знайти : АВ – ВА , де А = , В =

44

Добутком матриці А на число k називається така матриця k ∙A , кожний елемент якої дорівнює k ∙ .

Множення матриць на число зводиться до множення на це число кожного елемента матриці .

Різниця А – В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В , помноженої на -1 :

А – В = А + (-1)∙ В.

Множення матриць . Розглянемо множення матриць другого порядку . Нехай А = і В=

Добутком цих матриць називається матриця

С= А В =

Вправи

113. Додати матриці а і в , якщо :

1) А = , В= ;

2) A = , B = ;

3) A = , B = .

114. Обчисліть лінійні комбінації матриць:

1) 2А – В , якщо А = , В =

45

3⁰. Складають рівняння і по розв’язку одного з них знаходять кут

4⁰. Записують комплексне число z в тригонометричній формі.

Приклад 2. Знайти тригонометричну форму комплексного числа z = 2+2i .

Розв’язання. Маємо . Знаходимо :

; , звідси . Отже ,

Показникова форма комплексного числа:

−формула Ейлера.

3. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

4. Застосування комплексних чисел в розрахунку фізичних величин .

75

Оскільки комплексні числа геометрично зображуються векторами на площині , то всі векторні фізичні величини можуть бути охарактеризовані за допомогою комплексних чисел . Представлення векторних фізичних величин комплексними числами полегшує виконання розрахунків цих величин , так як дії над векторами , які виконуються графічно , заміняються відповідними діями над комплексними числами , які виконуються аналітично , що значно простіше .

Особливо широке застосування комплексні числа мають в електротехніці при розрахунку електричних кіл .

Як відомо , значення v величини , що змінюється за законами гармонічних коливань з амплітудою V , кутовою частотою w і початковою фазою , задається рівнянням . (1)

Рівняння гармонічних коливань залежить від трьох параметрів V, w і . Таке рівняння часто зустрічається в електротехніці при розрахунку електричних кіл змінного струму . Змінна напруга задається рівнянням (2)

При стандартній частоті 50 Гц кутова частота w є сталим числом w = 314 рад/с, або 18000 град/с, тому в цьому випадку рівняння (2) повністю визначається двома параметрами – амплітудою U і початковою фазою . Аналогічна ситуація для рівняння струму і електрорушійної сили :

, .

Той факт , що ( при фіксованій кутовій частоті w ) рівняння (2) визначається двома параметрами U і , дозволяє спів ставити кожному такому рівнянню комплексне число , модуль якого дорівнює U , а аргумент і яке позначається . (3)

74