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- •Applications
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- •Ellipse
- •Hyperbola
- •Polar Coordinates
- •Graphs in Polar Coordinates
- •Areas in Polar Coordinates
- •Parametric Equations
280 |
CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION |
||||||||||||||
65. |
sin mx sin nx dx = |
2 |
|
|
m |
|
|
−n |
− |
|
m + n |
+ C; m2 6= n2 |
|||
|
Z |
1 |
|
|
|
|
− |
|
sin(m + n)x |
|
|||||
|
|
|
|
sin(m |
|
n)x |
|
|
|
||||||
66. |
cos mx cos nx dx = |
|
|
m |
|
− |
+ |
|
|
+ C; m2 6= n2 |
|||||
2 |
|
n |
|
m + n |
|||||||||||
|
Z |
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
sin(m + n)x |
|||||
|
|
|
|
sin(m |
n)x |
|
|
6.4Trigonometric Integrals
The trigonometric integrals are of two types. The integrand of the first type consists of a product of powers of trigonometric functions of x. The integrand of the second type consists of sin(nx) cos(mx), sin(nx) sin(mx) or cos(nx) cos(mx). By expressing all trigonometric functions in terms of sine and cosine, many trigonometric integrals can be computed by using the following theorem.
Theorem 6.4.1 Suppose that m and n are integers, positive, negative, or zero. Then the following reduction formulas are valid:
Z
1.sinn x
Z
2.sinn−2
|
n |
|
n |
Z |
||||||
dx = |
−1 |
sinn−1 x cos x + |
(n − 1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
sinn−1 x cos x + |
n |
|
|
|||||
x dx = |
|
|
|
|
||||||
n − 1 |
n − 1 |
sinn−2 x dx, n > 0
Z
sinn x dx, n ≤ 0
ZZ
3.(sin x)−1 dx = csc x dx = ln | csc x−cot x|+c or − ln | csc x+cot x|+c
Z
4.cosn x dx = n1
Z
5.cosn−2 x dx =
Z
6.(cos x)−1 dx =
Z
|
|
|
n |
|
Z |
|
|
|
cosn−1 x sin x + |
n − 1 |
|
cosn−2 x dx, n > 0 |
|
|
|||
|
|
|
||||||
n − 1 |
|
n − 1 |
Z |
≤ |
|
|||
−1 |
cosn−1 x sin x + |
|
n |
cosn x dx, n |
|
0 |
||
|
|
|
|
|||||
Z |
sec x dx = ln | sec x + tan x| + c |
|
|
7.sinnx cos2m+1 x dx = R sinn x(1 − sin2 x)m cos x dx
=R un(1 − u2)mdu, u = sin x, du = cos x dx
6.4. TRIGONOMETRIC INTEGRALS |
281 |
Z
8.sin2n+1x cosm x dx = R cosm x(1 − cos2 x)n sin x dx
= − R um(1 − u2)ndu, u = cos x, du = − sin x dx
Z
9.sin2n x cos2m x dx = R (1 − cos2 x)n cos2m x dx
=R (1 − sin2 x)m sin2n x dx
Z |
2 |
|
|
m − n |
|
|
|
m − n |
|
|
|
6 |
|||||||
10. |
sin(nx) cos(mx)dx = |
−1 |
|
|
cos(m + n)x |
+ |
cos(m − n)x |
|
+ c, m2 = n2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
sin(mx) sin(mx) dx = |
|
|
|
|
|
m |
|
− |
|
− |
|
|
+ c, m2 6= n2 |
|||||
2 |
|
|
n |
|
m + n |
||||||||||||||
Z |
1 |
|
|
− |
|
|
sin(m + n)x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin(m |
|
n)x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
cos(mx) cos(mx) dx = |
|
|
m |
|
− |
+ |
|
|
|
+ c, m2 6= n2 |
||||||||
2 |
|
n |
|
m + n |
|
||||||||||||||
Z |
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
sin(m + n)x |
|
|||||||||
|
|
|
sin(m |
n)x |
|
|
|
|
Corollary. The following integration formulas are valid:
|
Z |
|
|
tann |
1 u |
− Z |
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
tann u du = |
|
− |
|
tann−2 u d |
|
|
|
|
||||||
|
n − 1 |
|
|
|
Z |
||||||||||
|
Z |
|
n − 1 |
|
|
|
|
|
n − 1 |
||||||
14. |
|
secn u du = |
1 |
|
secn−2 x tan x + |
n |
− 2 |
|
secn−2 x dx |
||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n − 1 |
|
|
|
|
n − 1 |
Z |
|||||||
15. |
|
cscn u du = |
|
−1 |
|
cscn−2 x cot x + |
n |
− 2 |
|
cscn−2 x dx |
|||||
|
|
|
|
|
Exercises 6.4 Evaluate each of the following integrals.
1. |
Z |
sin5 x dx |
2. |
Z |
cos4 x dx |
3. |
Z |
tan5 x dx |
4. |
Z |
cot4 x dx |
5. |
Z |
sec5 x dx |
6. |
Z |
csc4 x dx |
282 |
|
|
CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION |
||
7. |
Z |
sin5 x cos4 x dx |
8. |
Z |
sin3 x cos5 x dx |
9. |
Z |
sin4 x cos3 x dx |
10. |
Z |
sin2 x cos4 x dx |
11. |
Z |
tan5 x sec4 x dx |
12. |
Z |
cot5 x csc4 x dx |
13. |
Z |
tan4 x sec5 x dx |
14. |
Z |
cot4 x csc5 x dx |
15. |
Z |
tan4 x sec4 x dx |
16. |
Z |
cot4 x csc4 x dx |
17. |
Z |
tan3 x sec3 x dx |
18. |
Z |
cot3 x csc3 x dx |
19. |
Z |
sin 2x cos 3x dx |
20. |
Z |
sin 4x cos 4x dx |
21. |
Z |
sin 3x cos 3x dx |
22. |
Z |
sin 2x sin 3x dx |
23. |
Z |
sin 4x sin 6x dx |
24. |
Z |
sin 3x sin 5x dx |
25. |
Z |
cos 3x cos 5x dx |
26. |
Z |
cos 2x cos 4x dx |
27. |
Z |
cos 3x cos 4x dx |
28. |
Z |
sin 4x cos 4x dx |
6.5Trigonometric Substitutions
Theorem 6.5.1 (a2 − u2 Forms). Suppose that u = a sin t, a > 0. Then
6.5. TRIGONOMETRIC SUBSTITUTIONS |
283 |
|
|
|
|
a2 − u2 = a2 cos2 t, |
√ |
|
|
|
|
= a cos t, t = arcsin(u/a), |
|||||||||||
du = a cos tdt, |
a2 − u2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
a |
2 |
− u |
2 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||||
sin t = |
, cos t = |
|
|
|
, tan t = |
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
√a2 − u2 |
|
|||||||
cot t = |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a2 − u2 |
, |
sec t = |
|
|
|
a |
, |
csc t |
a |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
√a2 − u2 |
|
|
|
|
|
u |
|
graph
The following integration formulas are valid:
1. |
Z |
a2 − u2 = −2 ln |a2 − u2| + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
udu |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
a2 − u2 |
|
|
|
|
2a |
|
|
a + u |
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
du |
= |
|
1 ln |
|
a − u |
|
+ c = |
1 |
arctanh |
|
u |
|
+ c |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
√ |
|
|
|
|
= −√a2 − u2 + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a2 − u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
Z |
√ |
|
du |
|
|
|
= arcsin |
u |
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a2 − u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
du |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
− |
|
a2 |
|
u2 |
+ c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u√a2 − u2 = a |
|
|
ln u |
|
|
u− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
du = |
2 |
arcsin a |
+ 2 u√ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a2 − u2 |
a2 |
− u2 + c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Proof. The proof of this theorem is left as an exercise.
284 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CHAPTER 6. |
|
|
TECHNIQUES OF INTEGRATION |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem 6.5.2 (a2 + u2 Forms). Suppose that u = a tan t, a > 0. Then |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tdt, a2 |
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
a2 sec2 t, √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= a sec t, t = arctan |
u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + u2 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
secu |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin t = |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
cos t = |
√ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
tan t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 + u2 |
|
a2 + u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+ u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
csc t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
sec t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
cot t = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
graph |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
Proof. The proof of this theorem is left as an exercise. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
The following integration formulas are valid: |
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Z |
|
|
udu |
|
= |
1 |
|
|
ln |
|
a2 |
+ u2 + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 + u2 |
|
2 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Z |
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du |
|
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1 |
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u |
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||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
arctan |
|
|
+ c |
|
|
|
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|
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|
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|
a2 + u2 |
|
a |
a |
|
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Z |
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udu |
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||||||
3. |
|
√ |
|
|
|
|
|
= √a2 + u2 + c |
|
|
|
|
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|
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|
a2 + u2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
||||
4. |
|
√a2 + u2 |
= ln |
|
u + √a2 + u2 |
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
|
|
||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
u√a2 + u2 = a ln |
|
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|
|
u |
|
|
|
|
|
− u |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
du = |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
+ c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a + u |
|
|
|
|
2 u a + u |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ln u + a + u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||
Theorem 6.5.3 (u |
2 |
|
− a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Forms) Suppose that u = a sec t, a > 0. Then |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
a2 = a2 tan2 t, |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
du |
|
|
a sec t tan t dt, |
|
|
− |
u2 |
|
|
− |
a2 |
= a tan t, t = arcsec |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
sin t = |
|
|
|
|
|
|
|
− a |
, cos t = |
|
, |
|
|
tan t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
csc t = |
|
, sec t = |
|
|
, |
|
|
cot t = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u2 − a2 |
|
|
|
u2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5. TRIGONOMETRIC SUBSTITUTIONS |
285 |
|||||||||||||||||||||
|
graph |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Proof. The proof of this theorem is left as an exercise. |
|
|||||||||||||||||||||
|
The following integration formulas are valid: |
|
||||||||||||||||||||
1. |
Z |
u2 |
− a2 = |
|
2 ln u2 − a2 + c |
|
||||||||||||||||
|
|
udu |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z |
u2 |
− |
a2 |
|
|
|
|
2a |
|
|
u + a |
|
|
|
|
||||||
2. |
|
|
|
= |
|
1 |
|
ln |
|
u |
− a |
|
+ c |
|
||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Z |
√ |
|
udu |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
|
|
= u |
|
− a + c |
|
|||||||||||||||
u2 − a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
Z |
√u2 |
− a2 |
= ln u + √u2 − a2 + c |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Z |
u√u2 − a2 |
= a |
arcsec |
a |
+ c |
|
||||||||||
|
|
|
du |
1 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
6. |
Z √u2 − a2 du = |
2 |
u√u2 − a2 |
− |
2 |
ln u + √u2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exercises 6.5 Prove each of the following formulas:
|
Z |
u du |
|
|
|
|
1 |
ln |a2 − u2| + C |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a2 − u2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
a2 − u2 |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a + u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
du |
|
|
= |
1 |
|
|
ln |
a − u |
+ C |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
√ |
u du |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
|
|
= − a |
|
|
+ C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
a2 − u2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
Z |
√ |
|
du |
|
|
|
|
= arcsin |
u |
+ C, a > 0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||
a2 − u2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
u√a2 |
|
|
u2 = a |
ln |
u |
− |
|
|
|
|
+ C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
u− |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
√a2 |
u2 |
|
||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a2 + c
286 |
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CHAPTER 6. |
TECHNIQUES OF INTEGRATION |
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a2 |
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u |
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1 |
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Z √a2 − u2 |
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6. |
du = |
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arcsin |
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+ |
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u√a2 − u2 + C, a > 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
|
a |
2 |
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7. |
Z |
a2 + u2 = 2 ln a2 |
+ u2 + C |
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u du |
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1 |
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|||||||
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Z |
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du |
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1 |
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u |
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8. |
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= |
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arctan |
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+ C |
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a2 + u2 |
a |
a |
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9. |
Z |
√a2 + u2 |
= √a2 + u2 + C |
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Z |
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u du |
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||
10. |
√a2 + u2 |
= ln u + √a2 + u2 |
|
|
+ C |
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du |
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|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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− u + C |
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|||||||||||
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11. |
u√a2 + u2 |
|
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|
2 |
|
|
|
2 |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
= a ln |
√a |
u |
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
du |
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ u |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. |
Z √a2 + u2 |
du = |
|
|
|
|
|
|
+ u2 |
+ |
|
|
|
√a2 + u2 |
|
+ C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 u√a2 |
2 |
|
|
|
ln u + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Z |
u du |
= |
1 |
|
ln |
|
u2 |
− a2 |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u2 − a2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
u2 − a2 |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
du |
= |
1 |
|
|
|
ln |
|
u |
− a |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
u du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|
= √u |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
− a + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u2 − a2 |
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
Z |
√u2 − a2 |
= ln u + √u2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z |
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
u√ |
|
|
= |
|
|
|
|
arcsec |
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
u2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. |
Z √u2 − a2 |
du = |
|
2 |
|
u√u2 |
− a2 |
− |
2 |
|
|
|
|
ln |
u + |
√u2 − a2 |
|
+ C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Evaluate each of the following integrals:
6.5. |
TRIGONOMETRIC SUBSTITUTIONS |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
Z |
√4 − x2 |
20. |
Z |
√4 − x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
22. |
Z |
4 − x2 |
23. |
Z |
9 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
Z |
√9 + x2 |
26. |
Z |
√9 + x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
28. |
Z |
x2 − 16 |
29. |
Z |
√x2 − 16 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
||||||||||
31. |
Z |
x√x2 |
− 4 |
32. |
Z |
x√9 − x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z √ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
Z √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
34. |
9 − x2 |
35. |
4 − 9x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
37. |
√ |
x |
|
dx |
38. |
√ |
x |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
4 + x2 |
x2 |
|
|
16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
(9 − x2)2 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
40. |
41. |
(x2 − 16)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
43. |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44. |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
dx |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
46. |
Z |
x2√4 − x2 |
47. |
Z |
x2√x2 |
− 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
49. |
Z |
x2 − 4x + 12 |
50. |
Z |
√4x − x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
52. |
Z |
4x − x2 |
53. |
Z |
√x2 − 2x + 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||
55. |
Z |
√x2 x |
|
2x + 5 |
56. |
Z |
x2 + 4x + 13 dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
−
|
Z |
287 |
||||||||||||||
21. |
4x− x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||
24. |
Z |
9 + x2 |
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|||||||||||||
27. |
Z |
x2 − 16 |
||||||||||||||
|
|
x dx |
|
|||||||||||||
30. |
Z |
√ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Z |
|
|
|
− |
|||||||||||
33. |
x√ |
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 + 16 |
|
|
|
|||||||||||||
36. |
Z |
√ |
x2 |
|
dx |
|||||||||||
1 x2 |
||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
− |
|||||||||||
39. |
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(9 + x2)2 |
||||||||||||||||
42. |
Z |
|
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(4 + x2)3/2 |
||||||||||||||||
45. |
Z |
x2√x2 + 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||
48. |
Z |
x2 − 2x + 5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
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51. |
Z |
√x2 − 4x + 12 |
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dx |
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Z |
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dx |
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54. |
x |
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x2 − 4x − 12 |
Z
57.(5 − 4x − x2)1/2dx