I tnvl I l

V ⁼ *Рmax cos ( a>₀t + ф) с собственной частотой COq и периодом T.mq = J—2- , Т = 2л \ = 2л\—, где

V I \mgl yg

величину L = I/ml называют приведенной длиной физического маятника (ф - начальная фаза колебания). Точка О'

на продолжении прямой ОС , отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L , называется центром качаний физич. маятника.

■Ф Математический маятник / рк

' ! VV

Идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой т, подвешенной на невесомой / ; \\

нерастяжимой нити длиной I и колеблющейся под действием силы тяжести без трения, называют матема- _rl_ \ g\l

тическим маятником. Реальной моделью математич. маятника может служить небольшой тяжелый ша- О*]'

рик, подвешенный на тонкой длинной нити. Математический маятник можно представить как частный (пре- \р дельный) случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс. ДУ

движения математич. маятника тогда м-но получить из ур-ния (****), полагая, что I = ml², т.е., получают такое соот­ношение: т d²(pjdt² = -mg ср/l или d²(pjdt² + g cp/l = 0. Следовательно, движение математич. маятника описы­вается ДУ гармонических колебаний, то есть происходит по закону cp(t) = <p_max COS {CO₀t + ср) с частотой и перио­дом, соответственно: = -]g/l, Т = 2n ^jl/g. Приведенную длину физич. маятника можно определить как длину такого математич. маятника, который имеет такой же период колебаний, что и данный физич. маятник.

■ф Уравнение движения колебательных систем с трением. Затухающие колебания.

Рассмотренных выше гармонических колебаний, происходящих только под действием упругих или квазиупругих сил и продолжающихся неограниченно долго, в природе не существует, пос-ку всегда есть сила трения. Как только осцилля- торная система израсходует свою энергию на работу против сил трения, колебания прекратятся. Поэтому реальные ос­цилляции всегда затухающие. ДУ, описывающее физич. тело, совершающее затухающие колебания вдоль оси х, сле­дуя основному уравнению динамики (та_х = записывают в таком виде: ^{т =} ^ynp,x ⁺ fтр,х ■ В

зависимости от условий движения сила трения имеет различное выражение. Ниже использовано форма, наиболее удоб-

dx

dt

осциллятор - среда). Тогда ДУ движения примет вид: m ₌ _/q- _ у — => ~ + 2г — + о&х = 0,; у/т = 2г,

■X
\	'(-rt)
	У т	J

dt² dt dt² dt ^u

Г — коэффициент затухания колебаний; k/m = Ct)₀ , здесь COq - частота незатухающего колебания, именуемая

обычно собственной. Так что это соотношение — окончательный вид ДУ затухающих колебаний. Его решение известно, так что на его основе м-но выразить функцию, к-рой описывается затухающее колебание:

x(t) = A_me~^rt cos (со t + фо). _At

Выражение, стоящее перед косинусом— амплитуда колебания. A(t) = A_me~'^f. Ам­плитуда, т.о., не постоянна, зависит от времени, и при t —> да A(f) —» 0 ; Ао-амплитуда в _Q момент времени t — 0. Чтобы построить график затухающего колебания, надо провести кривую A(t) = Аде~^г' (как на рис.), затем провести симметричную ей относит-но оси 0/ ли-

I 2 2

нию, а между ними - синусоиду. Выражение со = д/соо ~ ^г определяет частоту затухающих колебаний. Из этой фор­мулы следует: во-1-ых, что частота со < со₀, а период Т = - г² > Т₀, что очевидно; во-2-ых, в ситуации г > со₀ осцилляции невозможны, наст-ко велики силы трения (условие щ = г - граничное, а коэффициент затухания г = со₀ ^наз-ся критическим. В этом случае Т = да , т. е. система, выведенная из положения равновесия, очень медленно возвращается назад- переход апериодичен).

чг Добротность осциллятора Важнейшими характеристиками затухающего колебания, кроме СО и Т, являются декремент затухания - отношение

Л (t ^ А е ~ ^н

амплитуд колебания, отстоящих через период Li— ₌ J> _ >т _также логарифмич. декремент затуха-

A(t + Т) А₀<Г^{г(, + т}>

1 п ЖО 1 тТ л пн - 1

ния К - ггл - хп е \ К = П и промежуток времени х = Г , в течение к-рого амплитуда уменьшает-

A(t + Т)

ся в ераз. Число колебаний, совершенных за это время, N_e = A ₌ J_ ₌ _L;,{. ₌ i//\/_(j .

Добротностью осциллятора называют безразмерную величину Q, равную произведению 2к на отношение энергии £(f) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T (за один условный период затухающих

E(t)

колебаний): Q = 2л -^-у — —. Энергия £(f) пропорциональна квадрату амплитуды A{t), поэтому:

Q = 2л A²(t + T)/[/\²(f) - A²{t + T)J = = 2tt/(i - e~^2rTJ = 2;r/(l - e^-2/l). При малых значениях логарифмического декремента

затухания (А,«1) 1-е"²'-=2А., поэтому (принимая Т я Т₀) : Q = — = лЫ_е = — = — . При слабом затухании колебаний добротность

Л гТ 2 г

с точностью до множителя я пропорциональна отношению энергии, оставшейся в колебательной системе в данный момент, к потере этой энергии за 1 период осцилляций. Для прекращения колебаний в технич. системы вводятся дополнит, устройства - их называют демпферами.

•ё Вынужденные колебания Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, следует компенсировать там потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего внешнего фактора (причины) возмущения системы X(f) , изменяющегося по гармоническому закону, —X(f) = Х₀ cos Q/..

В случае механических колебаний таким фактором является вынуждающая сила!{{] = F₀cosQt. Закон движения

■у

d х , dx _ _л

для пружинного маятника будет иметь вид — m—= —kx - у— + Fi\ cos D.t.

dt² dt

* В общем виде дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид — d х dx 2

—х- + 2г — + conX = Xq cos Qf. Это — линейное неоднородное Ду. Его решение равно сумме функции dt dt

x(t) — Аре ^rt cos (cot + ф) — общего решения однородного ур-ния и частного решения ^ , резонанс

неоднородного ду. М-но показать, что это частное решение имеет вид: fr\ амплитуды

x(t) = А(О) cos [Qf + , где A(Q) и ср(0.) задаются формулами —

A(Q) = , ^и = , ср = arctg

2

-Jim$ - Q²)² + 4r²Q² ®0 - «

У Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных ко­лебаний при приближении частоты вынуждающей силы (или, в случае электрических колебаний — частоты вынуждающе­го переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Амплитуда вынужденных колебаний a(Q) = — имеет максимум А_рез = — при

" V<^o - О²)² + 4r²Q² lr\o\-2г²

I 2 2

частоте Qр_ез = Jo>q - 2г , к-рая называется резонансной частотой (1-ая производная знаменателя (- 4{coq - Q²]q + 8= о] обращается в нуль при Q" = COq — 2г².

При й -> 0 амплитуда достигает предельного значения А₀ = Х₀/со² , к-рое называется статическим от­клонением. В случае механических колебаний - А₀ = F₀/mcog . При Q —> со амплитуда стремится к нулю. В слу- чае относительно малого затухания, когда г «соо², с учетом того, что добротность колебательной системы м-т быть выражена как Q = СО₀ /2г, величина резонансной амплитуды:

Арез - *о/2гС0₀ ^{= со}о^хо

/2гсо² = К/2 г)А о - Q ■ А₀ (Ао - статическое отклонение). Т.о., добротность ха­рактеризует резонансные свойства колебательной системы: чем выше добротность Q, тем больше А_рез.

Итак, процесс вынужденных колебаний поддерживают для получения незатухающих колебаний. Неизбежные потери энергии на трение д-ны компенсироваться подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодич. внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называют автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями.

В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии м-т служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой нек-рый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника.

П< Г₂< Г₃

Динамика механических колебаний /Механика [ТХВ_08/12)

; Осно " i О- ' ^3акон°^меР^нос™ изолроцессов в газе. Уравнение Менделее-

до „ ' " 'М- Клапейрона. Идеальный газ. Микропараметры системы. -L '

лекция ы ; кинетичсескои теории ! Основное уравнение MKT. Термодинамическая температура.

• Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изучающий строение и свойства вещества, следуя молекуляр- но-кинетическим (МК) представлениям. С этих позиций любое материальное тело состоит из огромного количества хаотически дви­жущихся обособленных малых частиц. Интенсивность этого движения (в основном, характеризуемая скоростью и амплитудой смеще­ния) зависит от температуры. МФ изучает свойства тел в зависимости от их строения, сил взаимодействия между образующими тело частицами, от характера движения этих частиц. В ней рассматриваются превращения вещества, связанные с изменением энергии его молекул, изменения агрегатного состояния. Её практическое значение в том, что она лежит в основе материаловедения и указывает пути создания материалов с заданными механическими, а также электрическими и оптическими свойствами (сплавы, пластмассы, ке­рамика, стекло, резина, бетон, полупроводниковые материалы).

МФ ставит целью дать объяснения тем явлениям и св-вам тел, к-рые непосред-но наблюдаются в опытах как суммарный рез-т действия движущихся молекул (характеризуемого температурой или давлением). При этом она пользуется статистическим методом, оперируя не движением отдел, молекул, а лишь такими, ср. величинами, k-рые характеризуют движение огромной совокупности частиц. В историческом отношении МФ и важна именно тем, что в ходе её развития был сформулирован и получил применение используемый в физике статистический метод - метод исследования систем из большого числа частиц, оперирующий вероятностными закономерно­стями и средними (усредненными) значениями физич. величин, характеризующих всю систему. МФ ставит целью дать объяснения тем явлениям и свойствам тел, к-рые непосред-но наблюдаются в опытах как суммарный результат действия движущихся молекул (харак­теризуемого температурой или давлением). Здесь и используется статистич. метод, который не рассматривает движение каждой от­дельной молекулы, а оперирует лишь такими средними величинами, k-рые характеризуют движение огромной совокупности частиц.

Для характеристики масс атомов и молекул применяются величины, называемые атомной массой и молекулярной массой. Относительной атомной массой (А) химического элемента называется отношение массы атома этого элемента к 1/12 массы атома угле­рода б С¹². Относительной молекулярной массой (М) вещества называется отношение массы молекулы этого вещества к 1/12 массы ато­ма углерода б С¹²: А = т_а/(ш_с/12) ; А4 = т_м/(ш_с /12) . Это безразмерные величины. В 1971 г. Международная конфе­ренция по мерам и весам приняла 7-ю единицу измерения - количество вещества (v). Единица измерения количества вещества [v] ■— 1 моль. Моль — это количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в

74

углероде б С¹² массой 0,012 кг. Моли всех веществ содержат одно и то же число молекул (число Авогадро): N д = 6,023 • 10 молъ-^г. Массу моля обозначают через р (М). Единица измерения молярной массы в СИ [р] = кг/моль.

• Теория молекулярной физики носит название молекулярно-кинетической (MKT). Развитие MKT началось в 18 в. и, в основном, тогда было призвано объяснить наблюдавшиеся закономерности так называемых изоироцессов в газах.

• Было эмпирически установлено, во-1-ых, что в изотермическом процессе (т.е. при неизменной температуре) для данной массы таза произведение его давления на объем есть величина постоянная. Графически зависимость между Р и 1/выражается изотермами, к-

рые в системе координат Pv\ V имеют вид равносторонних гипербол: PV = Const.

• Во-2-ых, объем данного количества газа при постоянном давлении прямо пропорционален его температуре: (У/Т) = Const. Такова закономерность изобарического процесса.

• В-З-их, выполнялся закон Шарля: давление данного количества газа при постоянном объеме линейно зависит от его температуры: (Р/Т) = Const. Закон верен для изохорического процесса.

• —В-4-ых, был установлен объединённый газовый закон (ОГЗ): произведение давления газа на объем, деленное на абсолютную тем­пературу, для данной массы газа есть величина постоянная. PV/Т = Const.

• В-5-х, закон Дальтона, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений.

Пусть имеется в данном сосуде смесь газов, число молекул которой в единице объема равно соответственно П\, /Ъ,~, п„. Очевидно, что общее число молекул в единице объема будет равно сумме количеств молекул отдельных газов: п= гь+ П2+-+ п„. Поскольку все газы в смеси находятся при одинаковой температуре, то из уравнения следует, что Р - р\ + /%+...+ р„, где р\, pz,.., р_п -так называемые парциальные давления, которые имел бы каждый из входящих в смесь газов, если бы в объеме, занятом смесью, находился он один.

* Уравнение Менделеева - Клапейрона (УМК). Для нормального состояния принято считать Ро=1,01 •10⁵Пй, t°=Q°C (Т₀= 273,15 К), а объём одного моля газа при этом состоянии V₀„=22,41 М^лАЗапишем ОГЗ для одного моля идеального газа в виде: PV^/T = PqV^q/Tq ~ R. Здесь R = 8.31 (Дж/молъ-К) -

рассчитываемое значение Ро Уоц/ То, к-рое называют универсальной газовой постоянной.

Записывают далее, что PV^ — RT. Это - уравнение Менделеева-Клапейрона для одного моля газа, одна из формулировок

уравнения состояния идеального газа. Для массы газа m УМК примет вид: PV = V RT, где m/\X = v — число молей газа. Физи­ческий смысл универсальной газовой постоянной R в том, что это - величина работы расширения одного моля газа при его нагревании на один градус (на 1 К) при постоянном давлении. Если использовать постоянную Больцмана: k = R/N_A = 1.38-10"²³ Дж/К, то уравне­ние состояния примет вид: Р = RT/V^ — kN^T/V^ = пкТ, где П = Na/V^ ~ концентрация молекул (в м³). Ф Исходные положения MKT

Для объяснения наблюдаемых явлений MKT оперировала следующими представлениями и понятиями. Во - 1-ых, принималось, что все вещества состоят из молекул—это следовало из обобщения результатов многих наблюдений. Молекулами называют наименьшие частицы вещества, сохраняющие его химические свойства. Молекулы состоят из одинаковых или различных атомов. Атом - это наименьшая часть вещества, обладающая всеми химическими свойства данного химического элемента.

Отметим далее особо - гипотеза об атомно-молекулярном устройстве вещества является фундаментальным предположением физи­ки и всей системы естествознания в целом. На его основе удалось дать объяснение многому из происходящих вокруг явлений, обоснован­но использовать выводы, следуя этой гипотезе, и предсказать свойства и поведение физических систем в интересах развития техники.

• Во-2-ых, вводятся специальные физич. величины, которые называют параметрами состояния системы (нек-рого тела как системы из молекул или атомов) (впоследствии они будут именоваться термодинамическимй). В качестве основных используют три величины: давление Р, объем Ии температуру t^sC(T=(t^BC+273,15)К). Абсолютный нуль соответствует температуре -273,15⁵С

У При изменении хотя бы одного из параметров изменяется и состояние системы, т.е. состояние системы определяется совокупно­стью значений параметров состояния. Между этими тремя основными параметрами состояния существует связь, называемая уравнением состояния:f(P,V,T) = 0. Наиболее простой вид имеет уравнение состояния газообразных веществ (см. выше записанное уравнение МК).

В-З-их. в качестве одной из основных моделей рассматривался идеальный газ - совокупность одинаковых, хаотически движу­щихся, не взаимодействующих друг с другом на расстоянии молекул. Размеры молекул столь малы, что суммарным объемом их можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда. Подавляющую часть времени каждая молекула движется свободно, претерпевая иногда упругие соударения с другими молекулами или со стенками сосуда. При этих столкновениях и соударениях со стенками молекулы газа ведут себя подобно абсолютно упругим шарикам. Реальные газы очень близки к такой модели, представляющей идеальный газ. У Физические свойства и явления в газах, к-рые подтверждают состоятельность представлений MKT, следующие:

1. Высокая сжимаемость газов (наличие больших расстояний между молекулами газа).

2. Взаимное проникновение соприкасающихся газов (диффузия).

3. Давление газа на стенки сосуда (удары молекул газа).

4. Броуновское движение (тепловое движение молекул и отсутствие полной компенсации производимых ими ударов).

Средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений. Простейшая МК модель газа - совокупность одинако вых, хаотично движущихся молекул. Их размеры крайне малы, и суммарным объёмом всех молекул м-но пренебречь по сравнению с объ ёмом всего сосуда. Подавляющую часть времени каждая из молекул движется свободно, иногда претерпевая упругие соударения с други

ми молекулами или стенками сосуда. Ниже рассмотрен ряд величин, к-рые, в отличие от термоди О i ■ ^ ^ намич. (макро-) параметров системы молекул, именуют микропараметрами системы.

gs/^ ^> ^ Минимальное расстояние, на к-рое сближаются при соударении центры 2-х молекул

y^si (рисЛя), называют эффективным диаметром молекулы (ЭДМ). За время между 2-мя последова- d А '/Л тельными столкновениями молекула газа проходит проходит нек-рый путь /, именуемый длиной

0 свободного пробега (ДСП). Это — случайная величина (рис.16), поэтому оперируют вероятностью * ■ra(Z) того, что частица пролетит без столкновений нек-рый путь

/ : Zff(lj= ехр(-//д) <— Л— средний путь, проходимый частицей между 2-мя последовательными столкновениями (средняя ДСП). За интервал At = 1 С частица проходит в среднем путь, равный средней скорости <V>. Если за 1 сек. частица претерпевает в среднем v соударений, то А, = (f)/v , с другой стороны (если представить, что частица при этом, двигается в пространстве, заключённом в коленчатом «цилиндре» с диаметром, равным удвоенному ЭДМ), число соударений (частота V) д-но быть равным V' = Ял/2Й²п(г?) <— т.е., числу частиц в этом «цилиндре». Тогда из сопоставления V, V' => X — (лл/2d²1tj , или

X — [a42<51iJ , (*) где 7ТС?²/4 = а <— эффективное сечение молекулы (ЭСМ).

У Поск-ку при постоянной температуре и изменяется пропорц-но давлению Р, то согласно (1) X ~ 1 /Р . С повышением темпера­

туры (Т) ЭДМ d неск-ко уменьшается, поэтому ДСП возрастает, и его увеличение описывается формулой Сезерленда. X = Х_хТ/(Т + С) , С — постоянная, типичная для каждого из газов.

-ё Основное уравнение молекулярно — кинетической теории идеальных газов Пусть в сосуде объёмом V находится газ массой т, состоящий из N молекул, т.е., по определению концентрация молекул в га­зе п = N/ V. Рассматривается идеальная модель газа — молекулы одинаковой массы т_й движутся с одинаковыми скоростями V. При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс, численно равный изменению импульса молекулы. Удары молекул и обусловли­вают давление газа на стенки ограничивающего его сосуда. Расчёт этого импульса за время At для площадки Д5дает величину

Ар = nm_Qv²ASAt/3 . Известно, что Ар = FAt и Р = Fj AS , т.е. импульс Ар и давление Р связаны так:

Р = Ар/(AS At) . Поэтому давление, оказываемое газом на стенку сосуда: Р = пт₀и²/3 . Если газ в объёме V содержит N

молекул, движущихся с определённым разбросом скоростей, так что их скорости— Vj, V₂, • . • , V^, то целесообразно рассмат-

}² = £ of Jn = £^max v²dN_vlN и характеризует

1 2

всю совокупность молекул газа. Так, что основное уравнение MKT идеальных газов. Р = —nnio(u_Kg) . (*) > Другие варианты записи этого уравнения с учетом соотношений tt=N/V и т = то N:

PV = i Nm ₀ (у_кв )² • PV = | м(ш₀(и^>²/2) = 2E_k/3 , PV = т(и_кв)²/з .

Здесь Е_к - суммарная кинетич. энергия поступательного движения молекул газа, также вводится (s^ = E_k/N - щ(о_ке)²/2.

• Из (*) следует, что при постоянном п (неизменный объём) давление пропорц-но средней кинетич. энергии поступательного движе­ния. Вместе с тем известно, температура T, измеряемая по газовой шкале, определяется как величина, пропорциональная давлению

идеального газа при постоянном объёме. Естественен вывод - температура Г пропорц-на (eq) . Далее умножая обе части ур-ния (*) на значение молярного объёма, записывают: PV^ = 2(nV^£₀)/3 . Отмечается далее, что nV^ = N_A — произведение числа молекул и объема 1 моля V^ равно числу Авогадро, поэтому PV^ = 2N^(s₀)/3 . Сопоставление последнего с уравнением со­стояния идеального газа для 1 моля — Р7| (т.е., УМК) приводит к соотношению 2N_A{z^j3 = RT , откуда следует:

(sq) = 3kT/2 , (* *) ■*—здесь также к = R/N_A — постоянная Больцмана.

• Судя по (**), абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии движения молекулы. Отсюда следует, что = 0 при Т = ОК (т.е., при абсолютном нуле температуры движение молекул газа должно прекратиться). Тем самым, тер­модинамическая температура — есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа, в этом — молекулярно-кинетическое толкование температуры. Ещё раз подчёркивается, что замена в ур-нии состояния PV^-RT посто­янной R Ш_А с учётом того, что п = N_AjV_fl ведёт к такой формулировок основного уравнения MKT: Р = пкТ. (* * *)

ривать среднюю квадратичную скорость, которая определяется как /у

Молекулярная физика / ММФ (ТХВ - 9_12)

2. ' Кинетическая энергия W_k = mv²/2 3' j Работа постоянной силы (ф = 0) : А = F • S

tg ср

А | COS ср ₀| + А 2 cos /р ₀₂ Итак, в результате сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, описываемых (**), получается также гармониче­ское колебание с амплитудой (***) и начальной фазой (****). Если частоты колебаний Х-^ и Х₂ будут неодинаковыми, то векторы А| и

А₂ будут вращаться с различными скоростями. В результате вектор А будет вращаться с непостоянной скоростью, а его величина