Заняття 3

Страховий внесок обчислюється, виходячи зі страхового тарифу та об'ємного показника з врахуванням передбачених знижок і надбавок.

Страховий внесок = Страховий тариф • Одиниця страхової суми — Знижка + Надбавка

Об'ємний показник — це показник, до якого прив'язаний страховий тариф, являє собою одиницю страхової суми або об'єкт страхування в цілому.

Приклад. Страховий тариф 0,5 грн зі 100 грн страхової суми, страхова сума - 1 млн грн. За дотримання правил пожежної безпеки страховик надає страхувальнику знижку 5%. Визначити загальну суму страхового внеску.

Розв'язок.

Розрахуємо:

1) страховий внесок:

2) суму знижки:

3) загальна сума страхового внеску: 5000 - 250 = 4750 грн.

Приклад. Підприємство виготовляє 2000 холодильників у рік, протягом року 25 із них виходить з ладу. Страхова компанія уклала 300 договорів по гарантійному обслуговуванню холодильників, середня страхова сума на один договір — 5000 грн, середнє страхове відшкодування на один договір - 2000 грн.

Визначіть:

1) нетто-ставку зі 100 грн страхової суми;

2) брутто-ставку зі 100 грн страхової суми, якщо витрати страховика на ведення справи складають 13%, а прибуток — 30% брутто-ставки;

3) розмір страхових платежів за договором.

Розв'язок.

Розрахуємо:

1) вірогідність настання страхового випадку: =0,0125;

2) нетто-ставку зі 100 грн страхової суми:

3) брутто-ставку зі 100 грн страхової суми:

4)страхові платежі:

Розрахунок тарифних ставок по ризикових видах страхування та по страхуванню життя має певні особливості, пов'язані з об'єктом страхування. Тому спочатку розглянемо особливості розрахунку страхових тарифів по ризикових видах страхування.

Залежно від наявної інформації застосовується один із запропонованих варіантів розрахунку страхових тарифів.

Наприклад, маємо інформацію:

• про вірогідність настання страхового випадку за одним договором страхування;

• про середню страхову суму та середнє страхове відшкодування на один договір страхування.

Не передбачається настання спустошувальних подій, які тягнуть за собою декілька страхових випадків.

Розрахунок тарифів відбувається при заздалегідь відомій кількості договорів страхування, які передбачається укласти.

Для здійснення розрахунків нетто-ставки (Т_н) за цим варіантом потрібно визначити основну частину нетто-ставки (Т_о) та ризикову надбавку (Т_р ).

Т_н = Т_о + Т_р

Основою для розрахунку основної частини нетто-ставки є збитковість страхової суми (g).

Т_о = p * g * 100,

де р - вірогідність настання страхового випадку по одному договору страхування;

g — збитковість страхової суми;

100 – одиниця розрахунку (100 грн).

Ризикова надбавка вводиться для того, щоб урахувати несприятливі коливання показника збитковості страхової суми. Можливі два варіанти розрахунку ризикової надбавки:

1) за наявності статистики про страхові відшкодування та можливості обчислення середньоквадратичного відхилення відшкодувань при настанні страхових випадків (s) ризикова надбавка розраховується для кожного ризику:

Т_р = ,

де α(γ) - коефіцієнт, який залежить від гарантії безпеки γ. Його значення береться з таблиці 3.1;

W — середнє відшкодування за одним договором страхування;

n — кількість застрахованих об'єктів. 2) за відсутності даних про середньоквадратичне відхилення страхового відшкодування ризикова надбавка визначається:

Т_р = ,

Таблиця 3.1. Значення коефіцієнта α, який залежить від гарантії безпеки γ

γ	0,84	0,90	0,95	0,98	0,9986
α	1,0	1,3	1,645	2,0	3,0

Брутто-ставка (Т_б) розраховується за формулою:

Т_б =

де f — частка навантаження в брутто-ставці.

Приклад. Страховик укладає договори із страхування домашнього майна. Вірогідність настання страхового випадку — 0,04. Середня страхова сума - 120тис. гри. Середнє страхове відшкодування — 58тис. грн. Кількість укладених договорів страхування — 1350. Питома вага навантаження в структурі страхового тарифу - 30%. Визначити страховий тариф при гарантії безпеки 0.95.

Розв'язок. Розраховуємо:

1) основну частину нетто-ставки:

2) ризикову надбавку:

3) нетто-ставку:

4) брутто-ставку:

При визначенні страхового тарифу за масовими ризиковими видами страхування, розрахунок тарифної ставки здійснюється за даними страхової статистики за ряд років та прогнозу збитковості страхової суми на наступний рік. Ця методика застосовується:

• за наявності інформації про суму страхових відшкодувань та скупну страхову суму по ризиках, що прийняті на страхування за ряд років;

• коли залежність збитковості від часу наближається до лінійної.

Приклад. Визначіть страховий тариф у страхуванні від нещасних випадків на основі страхової статистики про збитковість страхової суми за визначений проміжок часу та прогнозу її на наступний рік. Збитковість страхової суми така: 1$ рік — 2,0%; 2 рік - 1,8%; 3 рік - 2.4%; 4 рік - 3,0%; 5 рік — 3,2%. Навантаження в структурі брутто-ставки 32%. Коефіцієнт гарантії безпеки, який залежить віл вірогідності га кількості років, що аналізуються, складає 0,9.

Розв'язок.

Розраховуємо:

1) основну частину нетто-ставки (Т_о), яка дорівнює прогнозованому рівню збитковості страхової суми на наступний період. Для цього використовуємо модель лінійного тренду, відповідно до якої фактичні дані по збитковості страхової суми вирівнюємо на основі лінійного рівняння:

q* = a₀ + a₁i,

де q* - вирівняний показник збитковості страхової суми;

a_0, a₁,- параметри лінійного тренду;

i - порядковий номер відповідного року.

Параметри лінійного тренду визначаємо методом найменших квадратів, вирішивши систему рівнянь з двома невідомими:

де n - кількість років, що аналізуються.

Наведену систему рівнянь можна спростити, якщо почати підрахунок років із середини ряду, тоді ∑ i = 0. а система рівнянь приймає такий вигляд:

звідси

Розрахунок параметрів лінійного рівняння наведений у таблиці 3.2.

Таблиця 3.2. Розрахунок параметрів рівняння прямої та середньоквадратичного відхилення фактичних значень збитковості

від вирівняних

Роки	Фактична збитковість, % (qi )	Номер року (і)	qi i	i^2	Вирівняна збитковість (q^i)	qi – qi^*	(qi – qi^*)
1	2,0	-2	-4,0	4	1,76	0,24	0,0576
7	1,8	-1	-1,8	1	2,12	-0,32	0,1024
3	2.4	0	0	0	2,48	-0,08	0.0064
4	3,0	1	3,0	1	2,84	-0,16	0,0256
5	3,2	2	6,4	4	3,2	0	0
Всього	12,4	0	3,6	10	12,4	X	0,192

Лінійне рівняння матиме такий вигляд:

q* = 2,48 + 0,36 * i

Послідовно підставляючи в отримане рівняння лінійного тренду значення i отримуємо вирівняні (теоретичні) значення збитковості q_i*, які також заносимо в таблицю.

Знайдений лінійний тренд екстраполюється на наступний n = 1 рік, що складає вирівняну основну частину нетто-ставки:

q₃* 2,48 + 0,36 * 3 = 3,56%.

Отже, основна частіша нетто-ставки на наступний рік дорівнює 3,56% від страхової суми;

2) ризикову надбавку (Т_p):

де σ - середньоквадратичне відхилення фактичних рівнів збитковості від вирівняних;

β - коефіцієнт, який залежить від заданої гарантії безпеки у та п - кількості років, що аналізуються. Значення береться із таблиці 3.3.

За нашими даними

Таблиця 3.3. Значення коефіцієнта β, який залежить від гарантії безпеки (γ) та кількості років, що аналізуються

п	γ
	0,8	0,9	0,95	0,975	0,99
3	2,972	6,649	13,640	27,448	68,74
4	1,592	2,829	4,380	6,455	10,448
5	1,184	1,984	2,850	3,854	5,500
6	0,980	1,596	2,219	2,889	3,900

При гарантії безпеки 0,9 для п'яти років, які аналізуються, коефіцієнт дорівнює 1,984.

Ризикова надбавка складає:

Т_р = 0,22 - 1,984 = 0,4364%;

3) нетто-ставку:

Т_н = 3,56 + 0,43648 = 3,996%;

4) брутто-ставку:

Такий порядок розрахунку страхового тарифу використовують при наявності статистичної інформації менш ніж за 5 років за відомими такими даними:

• кількість страхових випадків;

• розмір збитків у кожному страховому випадку, що розглядається;

• загальної страхової суми на рік за сукупністю об'єктів страхування, що розглядаються.

Приклад. Розрахувати страховий тариф зі страхування транспортних засобів, якщо відомо, що кількість дорожньо-транспортних пригод і збитки наводяться за 4 роки. Загальна кількість страхових випадків - 34. Загальна страхова сума на рік щодо вибраної підгалузі — 15000 грн. Розрахунок вести при довірчій ймовірності α = 0,95. Упорядкована послідовність збитків від страхових випадків (та страхових відшкодувань) {w_j}³⁴_j=1 грн (0,004; 0,036; 0,11; 0,14; 0,2; 0,24; 0,28; 0.29; 0,3; 0,3; 0.33; 0,34; 0,40; 0,44; 0,7; 0.8; 0,9; 0,99; 1,02; 1,5; 1,6; 2,26; 3,16; 3,2; 3,95; 4,06; 5,50; 5,9; 8.7; 8,97; 10,8; 13,0; 15,95; 33,9). Навантаження складає 20%.

Розв'язок.

Розраховуємо:

1) середнє значення страхових відшкодувань:

де e — кількість страхових випадків;

w_j — відшкодування у j-му страховому випадку.

2) середню кількість страхових випадків на рік:

де t_п — календарна тривалість проміжку часу, що використовується для розрахунку страхового тарифу.

3) основну частину нетто-ставки:

4) коефіцієнт r(α, е) для обчислення верхньої межі можливого числа страхових випадків при довірчі ймовірності α та кількості страхових випадків е (таблиця 3.4). Корегуємо до найближчого числа страхових випадків (наприклад, =34 округлюємо до 30), записуємо з новим числом страхових випадків.

Таблиця 3.4. Значення коефіцієнта

е	α	α	α	α	α	α
	0,999	0,99	0,975	0,95	0,9	0,8
0	6,91	4,6	3,69	3	2,3	1,61
1	0,11	0,15	0,18	0,21	0,26	0,33
2	0,18	0,24	0,28	0,32	0,38	0,47
3	0,23	0,3	0,34	0,39	0,45	0,55
4	0,27	0,35	0,39	0,44	0,5	0,6
5	0,3	0,38	0.43	0,48	0,54	0,63
6	0,33	0,41	0,46	0,51	0,57	0,66
8	0,38	0,46	0,51	0,55	0,62	0,7
10	0,41	0,5	0,54	0,59	0,65	0,73
15	0,48	0,56	0,6	0,65	0,7	0,78
20	0,53	0,6	0,65	0,69	0,74	0,81
25	0,56	0,64	0,68	0,72	0,76	0,83
30	0,59	0,66	0,7	0,74	0,78	0,84
40	0,63	0,7	0,73	0,77	0,81	0,87
50	0,66	0,73	0,76	0,79	0,83	0,88
60	0,69	0,76	0,78	0,81	0,84	0,89
80	0,72	0,78	0,8	0,83	0,86	0,9
100	0,74	0,8	0,82	0,85	0,88	0,91
150	0,78	0,83	0,85	0,87	0,9	0,93
200	0.81	0,85	0,87	0,89	0,91	0,93
250	0,83	0.86	0,88	0,9	0,92	0,95
300	0,84	0,88	0,89	0,91	0,93	0,95
400	0,86	0,89	0,91	0,92	0,94	0,96
500	0,87	0,9	0,92	0,93	0,94	0,96
600	0,88	0,91	0,92	0,94	0,95	0,97

Коефіцієнт r(0,95; 34) з таблиці 3.4 дорівнює 0,75 (у таблиці 3.4 є значення для вказаного коефіцієнту при е = 30 та е = 40, тому е =34 округлюємо до 30, тобто r(0,95;30).

Замінюємо r (0,95;34) на r(0,95;30) = 0,74.

Уразі необхідності можна вирахувати r (0,95;34) = 0,75.

5) квантіль експериментального розподілу при довірчій ймовірності:

W_α = α • e = 0,95 • 34 = 32,3.

Оскільки W_α лежить між j-м страховим випадком та j + 1-м, то із послідовності {w_j}³⁴_j=1 знаходимо w_j та w_j+1;

якщо α • е = j, то w_α = w_i;

якщо α • е ≥ j, то w_α = w_i + (α * e – j) * ( w_j+1 - w_i),

Тобто 32<32,3<33, то j = 32; j+1 =33 із послідовності {w_j}³⁴_j=1 знаходимо w₃₂ = 13,0, w₃₃ = 15,95

w₀₉₅= 13 + (32,3 — 32) • (15,95-13,0)- 13,9;

6) коефіцієнт ризикової надбавки:

7)нетто-ставку:

Т_н = Т_о • (1 + λ) = 0,21 • (1+4,9)= 1,28%;

8) брутто-ставку при навантаженні 20%:

Страхові компанії можуть використовувати методики розрахунків страхових тарифів, обґрунтованість яких повинна бути підтверджена використанням математичних методів, які враховують специфіку страхових операцій.

В основі розрахунку нетто-ставки знаходиться збитковість страхової суми за період, що передує розрахунковому (звичайно за 5 попередніх років). Основна частина нетто-ставки (Т_н) дорівнює середній збитковості страхової суми за попередній період і розраховується за формулою:

Ризикова надбавка (Т_p ):

Т_p = t σ,

де σ — середньоквадратичне відхилення збитковості страхової суми за попередній період, що визначається за формулою:

t - коефіцієнт довіри, який залежить від необхідної вірогідності, з якою зібраних внесків вистачить для виплати страхових відшкодувань за страховими випадками. Деякі значення наведені в табл. 3.5.

Таблиця 3.5. Значення вірогідності при різній величині коефіцієнту довіри

t	вірогідність	t	вірогідність	t	вірогідність
1,0	0,6827	2,0	0,9545	3,0	0,9973
1,5	0,8664	2,5	0,9876	3,28	0,9990

Приклад. Збитковість страхової суми із страхування врожайності сільськогосподарської культури така: 1 рік — 4,0%; 2 рік — 5,0%; 3 рік - 4,0%; 4 рік - 5,5%; 5 рік - 4,5%. Визначити:

• нетто-ставку за умови, що вірогідність, з якою зібраних внесків вистачить для здійснення страхових виплат — 0,954;

• брутто-ставку, якщо навантаження в ній складає 21 %.

Розв'язок.

Розраховуємо:

1) основну частину нетто-ставки, яка дорівнює середній збитковості страхової суми за попередні п'ять років:

2)ризикову надбавку:

T_p = tσ, t = 2 при вірогідності 0,954

T_p = tσ =2 * 0,65 = 1,3%;

3) нетто-ставку:

Т_р = 4,6 + 1,3 = 5,9%;

4) брутто-ставку:

Страхування життя передбачає страховий захист майнових інтересів застрахованої особи (її набувачів) за допомогою страхових виплат при її дожитті до визначеного віку або закінчення строку страхування, а також у випадку її смерті. На основі даних демографічної статистики та теорії ймовірності виявлена залежність смертності від віку людей, виведені відповідні формули для розрахунку.

Основними матеріалами для розрахунку тарифних ставок є таблиця смертності та середня тривалість життя населення, яка характеризує смертність за віком і дожиття при переході з одного віку до іншого. Таблиця смертності містить розрахункові показники, які характеризують смертність населення в окремих вікових групах при переході в іншу (додаток 1).

Приклад. Для чоловіка віком 47 років розрахуйте:

• вірогідність прожити ще один рік;

• вірогідність померти протягом наступного року життя;

• вірогідність прожити ще 2 роки;

• вірогідність померти протягом наступних двох років;

• вірогідність померти на третьому році життя у віці 50 років.

Розв'язок.

Розраховуємо для особи віком 47 років:

1) вірогідність прожити ще один рік:

2) вірогідність померти протягом наступного року життя:

3) вірогідність прожити ще 2 роки:

4) вірогідність померти протягом наступних двох років:

5) вірогідність померти на третьому році життя в віці 50 років:

За допомогою таблиці смертності встановлюється ймовірне число виплат на випадок смерті застрахованих або по дожиттю їх до закінчення строку страхування. Якщо відомі страхові суми, то визначається розмір страхового фонду, необхідного для страхових від шкодувань.

Тарифні ставки із страхування життя бувають одноразові та річні. Одноразова ставка із страхуванню на дожиття (_nE_x) розраховується за формулою:

де l_x+n — число осіб, які доживуть до віку х + п (значення береться із таблиці смертності);

l_x — число осіб у віці х років;

Vⁿ — дисконтуючий множник, який визначається за формулою:

де i - норма дохідності інвестицій;

п — строк страхування.

Одноразова нетто-ставка на випадок смерті (_n А_х) визначається за формулою:

де d_x, d_x+1, d_x+n-1 — кількість осіб, які помирають при переході від віку х років до віку х+1 рік.

При змішаному страхуванні на дожиття та на випадок смерті розраховується сукупна нетто-ставка (Т_б):

Т_б = _пЕ_х + _пА_х.

Брутто-ставка (Т_б) визначається за формулою:

Т_б =

Приклад. Розрахуйте одноразову брутто-ставку для страхувальника-чоловіка віком 40 років, який має договір змішаного страхування життя строком на 10 років. Норма дохідності — 8%. Питома вага навантаження в структурі брутто-ставки — 15%.

Розв'язок.

Розраховуємо:

1) одноразові нетто-ставки для чоловіка віком 40 років строком на 10 років:

• на дожиття:

грн зі 100 гри страхової суми;

• на випадок смерті:

грн зі 100 грн страхової суми;

• при змішаному страхуванні життя сукупна нетто-ставка розраховується за формулою:

Т_н= _n Е_x + _nА_x = 41,9607 + 6,097 = 48,0577 грн;

2) одноразову брутто-ставку при змішаному страхуванні життя (Т_б):

грн зі 100 грн страхової суми.

На практиці доводиться розраховувати тарифні ставки для різні їх вікових груп та строків страхування (а також сплати внесків і здійснення страхових виплат), що є дуже складною роботою. Для спрощення розрахунків застосовуються спеціальні показники - комутаційні числа.

D_x = l_x * V_x

N_x = D_x + D_x+1 + … + D_w

C_x = d_x * V^x=1

M_x = C_x + C_x+1 + … + C_w

R_x = M_x + M_x+1 + … + M_w,

де w - граничний вік таблиці смертності.

За допомогою математичного прийому множення чисельника та знаменника дробу на множник V^x формули розрахунку нетто-ставок можуть бути виражені через комутаційні числа. Отже, для практичних розрахунків нетто-ставок при страхуванні життя розроблені таблиці комутаційних чисел (додаток2).

У результаті перетворення формули розрахунку нетто-ставок через комутаційні числа матимуть такий вигляд:

1) одноразова нетто-ставка для особи віком х років:

• на дожиття за строком страхування на n років:

• на випадок смерті:

а) при страхуванні на визначений строк:

б) для довічного страхування:

2) річна нетто-ставка (внесок сплачується на початку року) для особи віком х років:

• на дожиття при строку страхування на п років:

• на випадок смерті:

а) при страхуванні на визначений строк:

б) для довічного страхування:

Приклад. Для страхувальника-чоловіка віком 44 роки, який має договір змішаного страхування життя строком на 11 років, через комутаційні числа розрахуйте:

• одноразову нетто-ставку на випадок дожиття та смерті;

• одноразову нетто-ставку на випадок смерті при довічному страхуванні;

• річну ставку (якщо внесок сплачується на початку року) на дожиття, на випадок смерті, на випадок смерті при довічному страхуванні.

Розв'язок. Розраховуємо:

1) одноразову нетто-ставку для особи віком 40 років при строку страхування 11 років:

• на дожиття:

грн;

• на випадок смерті:

грн;

2) одноразову нетто-ставку на випадок смерті для особи віком 44 роки при довічному страхуванні:

грн;

3) річну нетто-ставку (внесок сплачується на початку року):

• на дожиття особи віком 44 роки при строку страхування на 11 років:

грн;

• при страхуванні на випадок смерті для особи віком 44 роки на 11 років:

грн;

• при довічному страхуванні на випадок смерті:

Більшість страхувальників вносить страхові платежі не одноразово, а поступово. Для цього розраховуються річні нетто-ставки з використанням коефіцієнту розстрочки (додаток 3):

де _nР_x - річний внесок (нетто-ставка);

_пЕ_x , _пА_х — одноразовий внесок відповідно на випадок дожиття та на випадок смерті;

_па_х — коефіцієнт розстрочки.