Информатика. Лекция «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

ЛЕКЦИЯ

Тема: Перевод чисел в позиционных системах счисления

План:

1. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления

2. Перевод из любой позиционной системы счисления в двоичную с помощью таблиц

3. Перевод целых чисел из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления

4. Перевод правильных десятичных дробей в любую другую позиционную систему счисления

5. Перевод чисел из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную

1. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления

Система счисления – совокупность приёмов и правил, при которой каждому объекту взаимнооднозначно ставятся в соответствие его изображение в виде конечного числа символов.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), и числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались различные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система счисления. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т.д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году - двенадцать.

Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймов) и в денежной системе (I шиллинг—12 пенсов).

В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то мере сохранилась и до наших дней (в системе измерения времени: 1час=60 мин, 1мин=60 сек, в системе измерения углов: 1 град.=60 мин).

У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, а у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, - двадцатеричная система счисления.

Десятичная система счисления возникла в Индии. Впоследствии се стали называть арабской потому, что она была перенесена в Европу арабами. Цифры, которыми мы теперь пользуемся, - арабские.

В разное время существовали другие записи цифр, в настоящее время почти забытые. Однако до сих пор мы иногда встречаемся с записью чисел с помощью букв латинского алфавита, например на циферблатах часов, в книгах для обозначения глав или частей, на деловых бумагах для обозначения месяцев и т.д. Это римская система счисления.

Десятичной системой счисления называется система, в которой для обозначения любого числа используется десять цифр от 0 до 9. Основанием системы называется число знаков, используемых в системе. Основанием десятичной системы счисления является число десять.

Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская. Основным недостатком непозиционных систем счисления является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними.

Непозиционной системой счисления называется система, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в числе.

Пример:

XI; IX

И в первом и во втором числе I имеет значение единицы, а X - десять, однако значение первого числа равно одиннадцати, а второго – девяти.

Значение числа формируется следующим образом: если значение младшего разряда меньше значения старшего, то к значению старшего разряда прибавляется значение младшего.

Если значение младшего разряда больше значения старшего разряда, то значение числа будет получаться, если от значения младшего разряда вычесть значение старшего разряда.

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Пример.

Число CCXXXII складывается из двух сотен, трёх десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

VI = 5+1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Позиционная система счисления – если значение каждой цифры (её вес) изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Пример.

1234; 4321

В первом числе цифра 4 стоит на первом месте и имеет значение четыре единицы, а во втором - на четвертом месте и имеет значение четыре тысячи.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно Р, то система счисления называется Р-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления. Т.е. это количество используемых цифр.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно 10, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>=10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание	Название	Алфавит
n= 2	Двоичная	0 1
n= 3	Троичная	0 1 2
n= 8	Восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n= 16	Шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу.

Пример.

101101₂, 3671₈, 3B8F₁₆.

Запись произвольного числа х в Р-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена, иногда говорят запись в развёрнутой форме

х = а_пР_п + а_п-1Р_п-1 +…+ а₁Р₁ + а₀Р₀ + а_-1Р_-1 +…+ а_-mР_-m.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию Р системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием Р > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1. если переводится целая часть числа, то она делится на Р, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на Р, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на Р выписываются в порядке, обратном их получению;

2. если переводится дробная часть числа, то она умножается на Р, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на Р и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближённой записью исходного числа в системе с основанием Р.

Для смешанных чисел (имеющих целую и дробную части) каждая часть переводится по своему правилу, затем записывается общий ответ.

При переводе чисел из системы счисления с основанием Р в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, - слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряду. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.