5. Теория функций комплексного переменного

Функция комплексного переменного, геометрическая интерпретация. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Критерий дифференцируемости функции. Связь между аналитическими и гармоническими функциями. Элементарные функции комплексного переменного (показательная, логарифмическая, общая степенная, тригонометрические, гиперболические) и их представление степенными рядами. Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Первая теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций и её применение к степенным рядам. Ряды Тейлора. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Вычет функции в точке (два определения). Основная теорема о вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Понятие аналитического продолжения функции.

Темы практических заданий

1. Аналитические и гармонические функции: [3] №№ 165-168.

2. Ряд Лорана: [3] №№ 543-548, 551-554.

3. Вычисление вычетов: [3] №№ 621-638.

4. Вычисление интегралов с помощью вычетов: [3] а) №№ 657-663; 666; б) 673-676, 682-686, 691-694.

Литература

1. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций.

2. Лаврентьев М.А. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.

3. Задачник: Волковыский П.Л., Лунц Г.Л., Абрамович И.Г. «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» (издания с 1970 г. до 2007 г.)

6. Уравнения математической физики

Классификация уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными и приведение их к каноническому виду.

Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типов. Постановка основных задач математической физики.

Начальная задача для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Начально-краевая задача уравнения колебаний (одномерный случай). Обоснование единственности решения.

Метод разделения переменных (метод Фурье) для уравнений гиперболического и параболического типов.

Принцип максимума для решений уравнения теплопроводности.

Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Решение задачи Дирихле методом функции Грина.

Темы практических заданий

1. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

2. Решение задачи Коши и задачи Гурса для уравнений гиперболического типа методом характеристик.

3. Решение задач для неограниченной и полуограниченной струны.

4. Метод разделения переменных.

7. Математическое программирование и методы оптимизации

Отделимость выпуклых множеств. Теоремы отделимости. Принцип Лагранжа в гладких задачах на экстремум с ограничениями типа равенства и неравенства. Существование решения в задачах математического программирования. Принцип Лагранжа в задачах выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Двойственность в задачах математического программирования. Основные свойства. Основная теорема двойственности. Теорема Куна-Таккера в форме двойственности. Понятие седловой точки. Теорема Куна-Таккера в форме утверждения о седловой точке. Линейное программирование. Принцип Лагранжа. Двойственность. Простейшая задача вариационного исчисления. Классификация экстремумов. Уравнение Эйлера. Экстремали. Обобщение простейшей задачи вариационного исчисления: задача с подвижными концами, многомерный случай, случай наличия старших производных, случай кратного интеграла. Изопериметрическая задача. Принцип Лагранжа. Необходимое и достаточное условие слабого локального экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления.