коллоквиум

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Первый этап коллоквиума будет проходить в тестовой форме. Те, кто не справится, будут пересдавать его устно.

Вопросы к коллоквиуму группы ГНГ, РМ, МГП.

1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия (определение д.у., порядок д.у., общее, частное и особое решения д.у., задача Коши).

2.Общий вид д.у. с разделяющимися переменными.

3.Общий вид однородного д.у. первого порядка и метод его решения. Какая подстановка позволяет свести это ДУ к ДУ с разделяющимися переменными?

4.Общий вид линейного д.у. первого порядка и метод Бернулли. Какая подстановка позволяет решить это ДУ?

5.Уравнение Бернулли и метод его решения.

6.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Уравнение вида

y	(n)	f (x) .

7.Уравнение вида

8.Уравнение вида

F( y, F(x,

	|	, y		||	,..., y		(n)
y
y	(k )		,..., y			(n)		)

) 0

0

.

. С помощью какой подстановки можно понизить порядок такого ДУ?

С помощью какой подстановки можно понизить порядок такого ДУ?

9.Определение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка.

10.Теорема о сумме решений и произведении решения на число.

11.Линейная зависимость и независимость функций. Вронскиан и его свойства.

12.Теорема Остроградского-Лиувилля.

13.Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений д.у. (с использованием определителя Вронского).

14.Фундаментальная система решений ЛОДУ. Теорема Лиувилля.

15.Теорема о структуре общего решения ЛОДУ.

16.ЛОДЛУ с постоянными коэффициентами. Общий вид решения для ДУ второго порядка в зависимости от решения характеристического уравнения.

17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.

18.Теорема о структуре общего решения ЛНДУ.

19.Метод подбора частного решения по специальной правой части (для ДУ второго порядка)

20.Ряды. Понятие числового ряда, суммы ряда, сходимости и расходимости ряда. Примеры.

21.Свойства числовых рядов.

22.Необходимое условие сходимости и его отрицание.

23.Признак сравнения числовых рядов. Признак сравнения в предельной форме.

24.Признак Даламбера и радикальный признак Коши.

25.Интегральный признак Коши. Эталонный ряд Дирихле.

26.Абсолютная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости. Условная сходимость.

27.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

28.Функциональные ряды. Основные понятия. Область сходимости ряда.

29.Степенные ряды. Основные понятия. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда.

30.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда. Структура области сходимости степенного ряда.

31.Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Функция	y e	x	.

32.Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Функция

33.Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Функция

y

y

ln(1 x)

sin x .

.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Образец теста:

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Какое ДУ называют линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

Как понизить порядок дифференциального уравнения вида

F( y, y', y'',..., y	(n)	) 0	?

Теорема о структуре общего решения линейных неоднородных ДУ высших порядков.

В каком случае сходится (расходится)

		1
эталонный ряд			n 1
		b q
	n 1

Сформулируйте признак Даламбера сходимости числовых рядов. К каким рядам применим этот признак?

Теорема Абеля о сходимости степенных рядов.

Являются ли функции y x, y x ln x линейно независимыми на (0, ) ? Выясните это с помощью определителя Вронского.

Найдите частное решение ЛНДУ

	y'' 2 y' 1 3e	x	.
				( 1)	n 1
	Сходится ли ряд				?
				n
		n 1

Ответ обоснуйте.

Чему равен радиус сходимости ряда 3n x n ?

n 1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В1 Задание

1Как найти массу пространственного тела Т , имеющего плотность (x, y, z) ?

2Сформулируйте признак Даламбера сходимости числовых рядов. К каким рядам применим этот признак?

3Сформулируйте любые три свойства двойного интеграла.

4 Известно,			f (x, y)dxdy 3, а
		D
		g(x, y) dxdy 10 .
	f (x, y)
	D
	Чему равен интеграл					g(x, y)dxdy ?
					D
5				x	n
	Сходится ли ряд
				3	n	при х=2 и х=4?
			n 1

6 Исследуйте на сходимость числовой ряд

	(2n 1)3	n
	n!
n 1

В2 Задание

1Дайте определение суммы числового ряда.

2Теорема Абеля о сходимости степенного ряда.

3Чему равен якобиан перехода к цилиндрической системе координат?

4Расставьте пределы интегрирования в двукратном интеграле, к которому приводится

		f (x, y)dxdy
D				, если область D ограничена
прямыми
y x;				y x 2; x 0; x 1
5 Найдите объем цилиндра
x	2	y	2	1, ограниченного плоскостями
z 1;				z 2 .

6 Найдите радиус сходимости степенного ряда

	3	n	(x		1)	n
			5	n 1		.
n 1

В3	Задание					В4	Задание
1	Сформулируйте любые три свойства					1	Как выглядят области первого и второго
	тройного интеграла.						типов? Нарисуйте картинки.
			2			2	Формулы перехода к цилиндрической
2	Чему равен интеграл	e x		dx ?			системе координат.
3	Дайте определение ряда Маклорена.					3	Дайте определение ряда Телора.
4	Известно, что D D1	D2 ;		D1 и D2 не		4	Расставьте пределы интегрирования в
	имеют общих внутренних точек и						двукратном интеграле, к которому

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

f (x, y)dxdy

5

, а

f (x, y)dxdy 3 .

D

D1

Чему равен интеграл

f (x, y)dxdy ?

D

2

Разложите в ряд функцию

1

.

5

1 x

6

( 1)

n 1

Является ли ряд

абсолютно

n

n 1

сходящимся?

В5

Задание

1

Общая формула перехода к полярной

системе координат в двойном интеграле

f (x, y)dxdy

D

2

В каком случае функциональный ряд можно

почленно интегрировать?

3

Необходимое условие сходимости

числового ряда.

4

Переведите интеграл

f (x, y)dxdy , где

x

y

D

2

2

1

область

D :

y

0

,

в полярную

систему координат и найдите его значение.

5

Исследуйте на сходимость числовой ряд

n

(2n)! 2

n1 (n 1)!

6

Чему равен радиус сходимости

ряда

3

n

x

n

?

n1

		приводится
		f (x, y)dxdy
		D	, если область D ограничена
		прямыми
		y x;	y x 2; y 0; y 1
	5				( 1)	n 1
		Сходится ли ряд				?
					n
				n 1
		Ответ обоснуйте.

6Найдите интервал сходимости степенного ряда

	5	n	x	n
		n!
n1

В6

1 Как найти массу плоской пластины D , имеющей плотность (x, y) ?

2Предельный признак сравнения числовых рядов. К каким рядам этот признак применим?

3Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящемся ряде.

4На какое минимальное число частей второго типа можно разбить область D:

5 Исследуйте на сходимость числовой ряд

	(2n 1)
	n1
6	Разложите в ряд функцию	y e	2 x	.

В1	Задание
1	Как найти массу пространственного тела Т ,
	имеющего плотность	(x, y, z)	?
2	Сформулируйте радикальный признак Коши
	сходимости числовых рядов. К каким рядам
	применим этот признак?
3	Сформулируйте любые три свойства
	двойного интеграла.
4	Известно, f (x, y)dxdy 1 , а
	D

В2 Задание

1Дайте определение суммы числового ряда.

2Запишите общий вид ряда Телора.

3Запишите формулы перехода к цилиндрической системе координат?

4Расставьте пределы интегрирования в двукратном интеграле, к которому приводится

				vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
				2 f (x, y) 4g(x, y) dxdy 10 .
				D
				Чему равен интеграл					g(x, y)dxdy ?
								D
		5					x	n
				Сходится ли ряд
							5	n	при х=1 и х=6?
						n 1
		6		Исследуйте на сходимость числовой ряд
					(2n 1)3	n
					n!
				n1

			f (x, y)dxdy
	D							, если область D ограничена
	прямыми
	y x; y 2 x; x 1 x 1
5	Найдите объем цилиндра
	x	2	y	2		4		, ограниченного плоскостями
	z 0;			z 2 .
6	Найдите интервал сходимости степенного
	ряда
			n				n
			3 (x 1)
			5		n1			.
	n1