Лекція 28
Функції на векторних (лінійних) просторах.
Означення 28.1 Функція одного векторного аргументу це : ( або ). (Якщо - дійсний векторний простір, то обирається множина , якщо - комплексний векторний простір, то обирається множина ).
Означення 28.2 Функція двох векторних аргументів називається : ( або ).(1)
Зауваження 28.1 Функції на нескінченно вимірних векторних просторах прийнято називати функціоналами.
§ 1 Лінійні функції одного аргументу (лінійні форми).
Означення 28.3 Функція L одного векторного аргументу називається лінійною, якщо
1) L( )=L( ) + L( ) (властивість адитивності),
2) , ( або ). L( )= L( ) (властивість однорідності).
Іншими словами: лінійна функція одного аргументу це адитивна та однорідна скалярна функція векторного аргументу.
Зауваження 28.2 Лінійна функція це частинний випадок лінійного відображення. А саме - лінійне відображення даного векторного простору в одномірний арифметичний простір ( або ).
Розглянемо n - вимірний векторний простір і виберемо в ньому базис . Тоді n , де - координати вектора в базисі , а L( )=L( )=L( ) . Позначимо L( )= , - матрицю-рядок з елементами , - матрицю-стовпчик координат вектора . Остаточно маємо
L( )= (28.1)
Зауваження 28.3 Числа =L( ) не залежать від вектора , а визначаються тільки функцією L і базисними векторами .
Ми довели наступне
Твердження 28.1 Будь-яка лінійна функція на n в довільному базисі задається лінійним однорідним многочленом (28.1) від координат вектора по цьому базису.
Значення функції L( )= називаються компонентами або коефіцієнтами функції L в базисі .
Розглянемо два базиси та в просторі n. Ці базиси пов’язані між собою співвідношеннями ( ) ( - елементи матриці переходу Т від базису до базису ). Тоді . Або
. (28.2)
§ 2 Білінійні форми.
Означення 28.4 Білінійною формою або білінійною функцією на векторному просторі n називається функція В від двох векторів на n, яка задовольняє вимогам
1) n ,
2) n, ( або ) ,
3) n ,
4) n, ( або ) .
Іншими словами: білінійна форма це скалярна функція двох векторних аргументів адитивна та однорідна по обом своїм аргументам.
Виберемо в просторі n базис . Якщо , , то значення білінійної форми В на векторах і може бути обчислено наступним чином . Позначимо - значення білінійної форми на всеможливих парах базисних векторів. Числа - називаються коефіцієнтами білінійної форми в базисі , а матриця - матрицю білінійної форми в даному базисі. Тоді остаточно
(28.3)
При заміні базису матриця білінійної форми змінюється. Отримаємо закон її зміни.
.
Або
і в матричному вигляді . (28.4)
Означення 28.5 Білінійна форма називається симетричною, якщо n .
Твердження 28.2 (Критерій симетрії білінійної форми). Для того щоб білінійна форма була симетрична необхідно і достатньо щоб вона в деякому базисі мала симетричну матрицю (тоді вона буде мати симетричну матрицю і в будь якому базисі).
Необхідність ◄ Нехай білінійна форма симетрична , тоді . Або ►
Достатність ◄ Нехай в деякому базисі матриця білінійної форми симетрична - . Тоді n . Так як білінійна форма симетрична, то вона буде мати симетричну матрицю і в будь якому базисі. ►