Тема хii. Кратные интегралы

1. Двойной интеграл

Литература. [4], гл. XIV, §1,2б, п1.4-6б, §3, п. 8-10, 14,15,17, §4, п.24,25,32, §§5,6, п. 18-20,28, §7, п.43,46,48, §9, п.52; [5] ЧII, №31-40, 51-54.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. Что называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D? Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы двух функций и о вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла.

3. Что называется двукратным интегралом от функции f(x,y) по области D? Как он вычисляется?

4. Сформулируйте теорему о среднем для двойного интеграла. Укажите ее геометрический смысл.

5. Как вычисляется двойной интеграл с помощью двукратного?

6. Как вычисляется двойной интеграл в полярных координатах?

7. Укажите механические приложения двойного интеграла.

2. Тройной интеграл

Литература. [4], гл. XIV, §11,12, п. 65,66, §13, п.67, §14, упр. 68,69; [5], Ч.II, №89,93.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. Что называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по пространственной области V? Укажите его механический смысл.

2. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

3. Как вычисляется тройной интеграл с помощью трехкратного?

4. Как вычисляются объем тела с помощью тройного интеграла? Координаты центра масс?

Тема XII. Криволинейные интегралы

1. Криволинейные интегралы: их определение, свойства и приложения

Литература. [4], гл.XV, §1,2, п.1,3,6,7, §4, «Замечание»; [5], Ч.II, гл.II, §1,4, №144-147.

В [4] рассмотрены два типа криволинейных интегралов: криволинейный интеграл по координатам и криволинейный интеграл по длине дуги. Определение криволинейного интеграла по координатам (криволинейный интеграл от векторной функции) дано в § 1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги приведено в конце § 4 (см. замечание в конце § 4).

2. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Литература. [4], гл XV, §3,4; [5], Ч.II, гл.II, §2,3.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. Что называется криволинейным интегралом по координатам? Сформулируйте основные свойства криволинейного интеграла.

2. Что называется криволинейным интегралом по длине дуги?

3. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной параметрическими уравнениями?

4. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной уравнением y=f(x)?

5. Запишите и поясните формулу Грина.

6. Сформулируйте условия независимости криволинейного интеграла по пути интегрирования.

Тема IX. Функции нескольких переменных.

1. Основные понятия

Литература. [4], гл. VIII, §1,2; [3], гл.7, §1, п.1, задачи 7.1-7.31; [4], гл. VIII, §3,4; [6] гл.7, §1, п.2, задачи 7.32-7.36, 7.43-7.49.

2. Частные производные

Литература. [4], гл. VIII, §5,6, упр. 1-10.

3. Полный дифференциал.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Литература. [4], гл. VIII, §7, упр.11-17; §8, упр.18; [6], задачи 7.87-7.100; [4], гл. IX, §6, упр. 17,18,20; [6], задачи 7.229-7.234.

4. Производные сложной функции и функции,

заданные неявно. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков

Литература. [4], гл.VIII, §10, упр. 22,24; §11, упр. 26,28,30,32; §12, упр. 34,38; [6], задачи 7.114-7.131, 7.140-7.150, 7-82-7.84, 7.110, 7.111.

5. Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная по направлению и градиент

Литература. [4], гл.VIII, §13; [4], гл. VIII, §14-15, упр.40-43.

6. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных

Литература. [4], гл. VIII, §16,17, упр. 47-49; §18; [6], 7.187-7.189, 7.201-7.211, 7.212.

При исследовании функции нескольких переменных на экстремум следует иметь в виду, что точки экстремума могут находиться как среди точек, в которых частные производные равны нулю, так среди точек, в которых частные производные не существуют. Например, функция имеет минимум в точке (0;0), тогда как в этой точке ее частные производные не существуют. При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в некоторой замкнутой области следует найти все внутренние точки области, в которых функция может иметь экстремум. Затем надо исследовать функцию на границе области и найти там точки, где функция может принимать наибольшие (наименьшие) значения. При этом часто приходится разбивать границу области на части, заданные различными уравнениями. Вычислив значения функции во всех найденных точках, следует сравнить их между собой: наибольшее (наименьшее) из этих значений и является наибольшим (наименьшим) значением функции во всей замкнутой области.