Конспект по системам счисления.

Система счисления - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Существуют три группы систем счисления:

• позиционные;

• непозиционные;

• смешанные.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Римская система счисления.

Алфавит:

I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, L — 50, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).

Правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIХ = -10+100-1+10.

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1). Количество цифр используемых в системе счисления называется её «основанием».

В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

А_q= ± (a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+...+a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+...+a_-mq^-m)

Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

a_i —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Алфавит десятичной СС: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Основание: 10.

Для десятичной СС развернутая форма будет выглядеть следующим образом:

А₁₀= ± (a_n-110^n-1+a_n-210^n-2+...+a₀10⁰+a_-110^-1+a_-210^-2+...+a_-m10^-m)

Пример: число в развернутом виде 1586,25₁₀ =1*10³+5*10²+8*10¹+6*10⁰+2*10^-1+5*10^-2

Двоичная система счисления. Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления.

Алфавит: 0, 1.

Основание: 2.

Пример. Записать двоичное число 1001,1₂ в развернутом виде.

Решение. 1001,1₂=1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1

Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Восьмеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Основание: 8.

Пример. Записать восьмеричное число 7764,1₈ в развернутом виде.

Решение. 7764,1₈=7·8³+7·8²+6·8¹+4·8⁰+1·8^-1

Шестнадцатеричная система счисления.

Алфавит: цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и буквы A=(10), B=(11), C=(12), D=(13), E=(14), F=(15).

Основание: 16.

Пример. Записать шестнадцатеричное число 3АF₁₆ в развернутом виде.

Решение. 3АF₁₆ = 3·16²+10·16¹+15·16⁰

Перевод чисел в различные системы счисления.

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления. При переводе целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно это число последовательно делить на основание новой системы счисления так, чтобы в остатках от деления были только символы новой системы счисления. Число в новой системе счисления записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Например, переведём число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

Таким образом, число 75₁₀ = 1001011₂ = 113₈ = 4В₁₆

При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.

Например, переведём дробное число 0, 96 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

Таким образом, число 0,96₁₀ = 0,111101₂ = 0,75341₈ = 0.F5C28F₁₆

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, в которой записано это число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Например:

1) переведём число 101100, 1011₂ из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

101100, 101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 44, 625₁₀

2) переведём число 375,624₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления:

375, 624₈ = 3*8² + 7*8¹ + 5*8⁰ + 6*8^-1 + 2*8^-2 + 4*8^-3 = 192 + 56 + 5 + 0,75 + 0,03125 + 0,00781835938 = 253, 78906835938₁₀

3) переведём число ACF,5D₁₆

ACF, 5D₁₆= 10*16² + 12*16¹ + 15*16⁰ + 5*16^-1 + 13*16^-2 = 256 + 192 + 15 + 0,3125 + 0,050775 = 463, 363275₁₀

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2ⁿ), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2¹), восьмеричной (q = 2³) и шестнадцатеричной (q = 2⁴) системами счисления.