7. Произведение событий

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

8.Условная вероятность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: условной вероятностью события А при условии, что В произошло называется число, которое вычисляется по правилу P(инд.В)(А)=P(A/B)=P(A*B)/P(B). ЗАМЕЧАНИЕ. С помощью условной вероятности можно вычислить вероятность произвольного события P(AB)=P(инд.В)(А)*P(B)=P(A/B)*P(B). Если А и В независимы, получаем более простую формулу P(AB)=P(A)P(B). Покажем, что события А и В независимы тогда и только тогда, когда P(A/B)=P(A) или P(B/A)=P(B) (1); Пусть А и В независимы => P(A/B)==P(AB)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A). Пусть выполнены соотношения (1) => P(AB)=P(A/B)*P(B)=P(A)*P(B). ПРИМЕР: 20 вопросов, 25 выучили, 3 вопроса на экзамене. Вероятность ответа на ни? A – ответ на 1 вопрос, B – на 2, С – на 3. P(ABC)-? P(ABC)=P(C/AB)P(AB)=P(C/AB)P(B/A)P(A); P(A)=25/30; P(B/A)=24/29); P(C/AB)=23/28); P(ABC)=115/203≈1/2.

9. Теорема умножения вероятностей

Опыт повторяется n раз, m_B раз наступает событие В, m_АВ раз наряду с событием В наступает событие А. n(B) = m_B/n ; n(AB) = m_AB/n

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило: n(A/B)=m_AB/m_B=m_AB/nm_AB/n= n(AB)/n(B)

P(A/B)=P(AB)/P(B)- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

10. Независимые события

События А и В называются независимыми, если появление или непоявление одного из них не сказывается на появлении другого.P(A/B)=P(A); P(A/B)=P(B)- критерий независимости событий

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Пример. В урне есть 4 белых и 6 черных шаров. Половина из них имеют фирменную маркировку. Пусть среди шаров с маркировкой: а) 2 белых; в) 3 белых шара. Наугад вынимают шар. Выяснить независимость событий.

Рассматриваем события: А{белый шар} и В{шар с маркировкой}. Независимость выясняем по критерию:

Р(А)=4/10=0,4 Р(В)=10/2=0,5 Р(А)*Р(В) = 0,2

а) Р(АВ) = 2/10 = 0,2 в) Р(АВ) = 3/10 = 0,3

Ответ: в случае а) события независимы, т.к. признаки распределены равномерно среди всей совокупности (т.к. доля шаров с маркировкой = половине всех шаров и доля белых шаров с маркировкой = половине всех белых).

Свойства независимых событий.Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и I, А и Ī, Ā и I, Ā и Ī

Если события Н₁, Н₂, …Н_n независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

11. Вероятность появления хотябы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться n события испытаний не зависимых совокупностей. Чтобы найти вероятность когда наступит хотя бы одно из этих событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности = разности м/д 1 и произведение вероятностей противоположных событий. А1, А2…Аn-появление хотя бы одного события; Ā1,Ā2…Ān; Р=1-q₁q₂…q_n. Р(А)+Р(Ā1,Ā2…Ān)=1; Р(А)-Р(Ā1,Ā2…Ān)-1. Р(Ā1,Ā2…Ān)= Р(Ā1)Р(Ā2)…Р(Ān); Р(Ā1)=q₁ Р(Ā2)=q₂ Р(Ān)= q_n; Р(А)=q₁q₂…q_n.

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из 2-х орудий: Р1=0,8 и Р2=0,7. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе. Решение: q₁=1-р₁=1-0,8=0,2;q₂=1-р₂=1-0,7=0,3; Р(А)= 1-q₁q₂=1-0,2*0,3=0,94….